Cho số phức (z ) thỏa mãn| z2 - 2z + 5| = | (z - 1 + 2i)(z + 3i - 1)|. Tìm giá trị nhỏ nhất của P =| w | với w = z - 2 + 2i
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có
\(\begin{array}{l} \left| {{z^2} - 2z + 5} \right| = \left| {\left( {z - 1 + 2i} \right)\left( {z + 3i - 1} \right)} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {{{\left( {z - 1} \right)}^2} + 4} \right| = \left| {\left( {z - 1 + 2i} \right)} \right|\left| {\left( {z + 3i - 1} \right)} \right| \Leftrightarrow \left| {{{\left( {z - 1} \right)}^2} - {{\left( {2i} \right)}^2}} \right| = \left| {\left( {z - 1 + 2i} \right)} \right|\left| {\left( {z + 3i - 1} \right)} \right|\\ \Leftrightarrow |(z - 1 + 2i)(z - 1 - 2i)| = |(z - 1 + 2i)||(z + 3i - 1)| \to \left[ \begin{array}{l} z - 1 + 2i = 0(1)\\ |(z - 1 + 2i)| = |(z + 3i - 1)|(2) \end{array} \right. \end{array}\)
Từ \( \left( 1 \right) \Rightarrow z = 1 - 2i \Rightarrow w = - 1 \Rightarrow P = \left| w \right| = 1.\)
Xét (2). Gọi z=x+yi(x;y∈R).
Ta có:
\( \left| {\left( {z - 1 - 2i} \right)} \right| = \left| {\left( {z + 3i - 1} \right)} \right| \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} \Leftrightarrow y = - \frac{1}{2}.\)
Khi đó
\( w = x - \frac{1}{2}i - 2 + 2i = \left( {x - 2} \right) + \frac{3}{2}i \Rightarrow P = \left| w \right| = \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}} \ge \frac{3}{2} > 1\)
Vậy Pmin=1.
Câu hỏi liên quan
-
Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A(4;0) và B(0;-3). Điểm C thỏa mãn điều kiện \(\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}\) . Khi đó, số phức được biểu diễn bởi điểm C là:
-
Cho số phức z thỏa mãn \((1+2 i)^{2} z+\bar{z}=4 i-20\). Mô đun của z là
-
Giả sử M, N, P, Q, đượccho ở hình vẽ bên là điểm biểu diễn của các số phức \(z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}\) trênmặt phẳng tọa độ. Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
Xét các số phức z thỏa mãn \(|z - 1 + 2i| =\sqrt5\). Tìm số phức w có mô đun lớn nhất, biết rằng w = z + 1 + i
-
Cho số phức \(z=(2+i)(1-i)+1+3 i \) . Tính môđun của z .
-
Trong mặt phẳng phức Oxy , tập hợp các điểm biểu diễn số phức Z thỏa mãn \(\left.\left|z^{2}+(\bar{z})^{2}+2\right| z\right|^{2} \mid=16\) là hai đường thẳng \(d_{1}, d_{2}\) . Khoảng cách giữa 2 đường thẳng \(d_{1}, d_{2}\) là bao nhiêu?
-
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z , biết \(|3 z i+4|=\sqrt{3} \) là đường tròn có tâm là:
-
Tập hợp các điểm nằm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện sau đây: \(|z+\bar{z}+1-i|=2\) là hai đường thẳng:
-
Biết phương trình \(z^{2}+a z+b=0,(a, b \in \mathbb{R})\) có một nghiệm là \(z=1-i\) . Tính môđun của số phức \(w=a+b i\)
-
Tìm tất cả các số thực x, y thỏa mãn \(x^{2}+y-(2 y+4) i=2 i\)
-
Tìm phần thực a của số phức z thỏa mãn (1 + i) 2( 2 - i) z = 8 + i + (1 + 2i) z.
-
Cho số phức \(z=a+b i\) (trong đó a , b là các số thực thỏa mãn \(3 z-(4+5 i) \bar{z}=-17+11 i\) . Tính ab .
-
Cho số phức \(z=(1-6 i)-(2-4 i)\) . Phần thực, phần ảo của z lần lượt là
-
Tọa độ điểm biểu diễn hai số phức z và z' lần lượt là tọa độ của hai vectơ \(\vec{u} \text { và } \vec{u}^{\prime}\) . Hãy chọn câu trả lời sai trong các câu sau:
-
Cho số phức z = x + y.i thỏa mãn z3 = 2 - 2i. Cặp số (x;y) là:
-
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm M,N,P là điểm biểu diễn của 3 số phức:\({z_1} = 8 + 3i;\;{z_2} = 1 + 4i;\;{z_3} = 5 + xi\). Với giá trị nào của x thì tam giác MNP vuông tại P?
-
Cho hai số thực x y , thỏa mãn \(2 x+1+(1-2 y) i=2(2-i)+y i-x\) khi đó giá trị của \(x^{2}-3 x y-y\) bằng:
-
Trên mặt phẳng tạo độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn \(|z-i|=|i z|\) là
-
Cho số phức z thỏa mãn \(\left( {1 + i} \right)z = - 1 + 3i\)
.png)
Hỏi điểm biểu diễn của z là điểm nào trong các điểm M, N, P, Q ở hình bên?
-
Giả sử A, B theo thứ tự là điểm biểu diễn của số phức \(z_1 , z_2\) . Khi đó độ dài của AB bằng
