Cho \(z_1 , z_2\) là hai số phức thỏa mãn \(|2 z-i|=|2+i z|\) biết \(\left|z_{1}-z_{2}\right|=1\). Tính giá trị biểu thức \(P=\left|z_{1}+z_{2}\right|\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { Gọi } z=x+y i(x ; y \in \mathbb{R})\)
Ta có: \(|2 z-i|=|2+i z| \Rightarrow|2 x+(2 y-1) i|=|2-y+x i|\)
\(\Leftrightarrow 4 x^{2}+(2 y-1)^{2}=(2-y)^{2}+x^{2} \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=1\\ \Leftrightarrow|z|=1 \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} \left|z_{1}\right|=1 \\ \left|z_{2}\right|=1 \end{array}\right.\)
Áp dung công thức \(\left|z_{1}+z_{2}\right|^{2}+\left|z_{1}-z_{2}\right|^{2}=2\left(\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}\right)\)
ta có \(\left|z_{1}+z_{2}\right|^{2}=2\left(\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}\right)-\left|z_{1}-z_{2}\right|^{2}=3 \Rightarrow\left|z_{1}+z_{2}\right|=\sqrt{3}\)
