Biết số phức thỏa mãn | iz - 3| = | z - 2 - i | và | z | có giá trị nhỏ nhất. Phần thực của số phức z bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt z=a+bi(a,b∈R)
Theo bài ra ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}} {{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left| {iz - 3} \right| = \left| {z - 2 - i} \right|}\\ { \Leftrightarrow \left| {i\left( {a + bi} \right) - 3} \right| = \left| {a + bi - 2 - i} \right|}\\ { \Leftrightarrow \left| {\left( { - 3 - b} \right) + ai} \right| = \left| {\left( {a - 2} \right) + \left( {b - 1} \right)i} \right|}\\ { \Leftrightarrow {{\left( {b + 3} \right)}^2} + {a^2} = {{\left( {a - 2} \right)}^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}}\\ { \Leftrightarrow {b^2} + 6b + 9 + {a^2} = {a^2} - 4a + 4 + {b^2} - 2b + 1}\\ { \Leftrightarrow 4a + 8b + 4 = 0}\\ { \Leftrightarrow a + 2b + 1 = 0}\\ { \Leftrightarrow a = - 2b - 1} \end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}} {\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{{\left( {2b + 1} \right)}^2} + {b^2}} }\\ {{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = \sqrt {5{b^2} + 4b + 1} = \sqrt {5\left( {{b^2} + \frac{4}{5}b} \right) + 1} }\\ {{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = \sqrt {5\left( {{b^2} + 2.b.\frac{2}{5} + \frac{4}{{25}}} \right) - \frac{4}{5} + 1} }\\ {{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = \sqrt {5{{\left( {b + \frac{2}{5}} \right)}^2} + \frac{1}{5}} \ge \frac{{\sqrt 5 }}{5}} \end{array}\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
\(\begin{array}{l} b = - \frac{2}{5} \Rightarrow a = - \frac{1}{5}.\\ \to {\mathop{\rm Re}\nolimits} z = a = - \frac{1}{5} \end{array}\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho số phức \(z_{1}=1-2 i, z_{2}=2+i\) . Môđun của số phức \(w=z_{1}-2 z_{2}+3\)?
-
Cho số phức z = -3 + 2i. Tính P = |z + 1 – i|.
-
Cho số phức z thỏa mãn \((1-i) z+4 \bar{z}=7-7 i\) . Khi đó, môđun của z bằng bao nhiêu?
-
Tìm số phức liên hợp của số phức \(z = \left( {1 + i} \right)\left( {3 - 2i} \right) + \frac{1}{{2 + i}}\)
-
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \((1+i)(2+i) z+1-i=(5-i)(1+i)\). Tính môđun của số phức
\(w=1+2 z+z^{2}\) -
Số phức z thỏa mãn điều kiện nào sau đây thì có tập hợp các điểm biểu diễn của nó trên mặt phẳng tọa độ là đường tròn tâm I (0;1), bán kính R =2?
-
Cho hai số phức z, w thỏa mãn \(|z|=3 \text { và } \frac{1}{z}+\frac{1}{w}=\frac{1}{z+w}\)Khi đó |w| bằng:
-
Gọi A là điểm biểu diễn của số phức \(z=3+2 i\) và B là điểm biểu diễn của số phức \(z=2+3i\) . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
-
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa\(|3zi + 4| = \sqrt 3 \) là
-
Trong mặt phẳng phức, tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện \(|z|=|\bar{z}-3+4 i|\) là
-
Tìm điểm M biểu diễn số phức \(z=i-2\)
-
Cho số phức \(z=(2+i)(1-i)+1+3 i \) . Tính môđun của z .
-
Cho \(z_1,z_2\) thỏa mãn \(|z_1 - z_2| = 1 ; |z_1 + z_2| = 3 \). Tính \(max T = |z_1| + |z_2| \)
-
Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm M(x;y)biểu diễn của số phức \(z=x+y i(x ; y \in \mathbb{R})\) thỏa mãn \(|z+1+3 i|=|z-2-i|\) là:
-
Trong mp tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn \(|z-i|=|(1+i) z|\)
-
Tìm môđun của số phức z biết \(z-4=(1+i)|z|-(4+3 z) i\)
-
Gọi M là điểm biểu diễn số phức \(z = i (1 + 2i )^2 \) . Tọa độ của điểm M là
-
Cho số phức \(z_{1}, z_{2}, z_{3}\) thỏa mãn \(\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|z_{3}\right|=1 \text { và } z_{1}+z_{2}+z_{3}=0\) . Tính \(z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}\)
-
Cho các số phức \(z_{1}=1+3 i ; z_{2}=-2+2 i ; z_{3}=-1-i\) được biểu diễn lần lượt bởi các điểm A, B, C trên mặt phẳng. Gọi M là điểm thỏa mãn: \(\overrightarrow{A M}=\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C}\) . Khi đó điểm M biểu diễn số phức
-
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \((2-i) z=(4+i) z+3-2\) . Số phức liên hợp của z là
