Biết số phức thỏa mãn | iz - 3| = | z - 2 - i | và | z | có giá trị nhỏ nhất. Phần thực của số phức z bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt z=a+bi(a,b∈R)
Theo bài ra ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}} {{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left| {iz - 3} \right| = \left| {z - 2 - i} \right|}\\ { \Leftrightarrow \left| {i\left( {a + bi} \right) - 3} \right| = \left| {a + bi - 2 - i} \right|}\\ { \Leftrightarrow \left| {\left( { - 3 - b} \right) + ai} \right| = \left| {\left( {a - 2} \right) + \left( {b - 1} \right)i} \right|}\\ { \Leftrightarrow {{\left( {b + 3} \right)}^2} + {a^2} = {{\left( {a - 2} \right)}^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}}\\ { \Leftrightarrow {b^2} + 6b + 9 + {a^2} = {a^2} - 4a + 4 + {b^2} - 2b + 1}\\ { \Leftrightarrow 4a + 8b + 4 = 0}\\ { \Leftrightarrow a + 2b + 1 = 0}\\ { \Leftrightarrow a = - 2b - 1} \end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}} {\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{{\left( {2b + 1} \right)}^2} + {b^2}} }\\ {{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = \sqrt {5{b^2} + 4b + 1} = \sqrt {5\left( {{b^2} + \frac{4}{5}b} \right) + 1} }\\ {{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = \sqrt {5\left( {{b^2} + 2.b.\frac{2}{5} + \frac{4}{{25}}} \right) - \frac{4}{5} + 1} }\\ {{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = \sqrt {5{{\left( {b + \frac{2}{5}} \right)}^2} + \frac{1}{5}} \ge \frac{{\sqrt 5 }}{5}} \end{array}\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
\(\begin{array}{l} b = - \frac{2}{5} \Rightarrow a = - \frac{1}{5}.\\ \to {\mathop{\rm Re}\nolimits} z = a = - \frac{1}{5} \end{array}\)
