Cho số phức \(z = x + yi ; z \ne1 ( x; y\in\mathbb{R} )\). Phần ảo của số phức \(\frac{z+1}{z-1}\) là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} z = x + yi\\ \Rightarrow \frac{{z + 1}}{{z - 1}} = \frac{{x + 1 + yi}}{{x - 1 + yi}}\\ = \frac{{\left( {x + 1 + yi} \right)\left( {x - 1 - yi} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {y^2}}}\\ = \frac{{{x^2} - {{\left( {1 + yi} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {y^2}}}\\ = \frac{{{x^2} - 1 - 2yi + {y^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {y^2}}}\\ = \frac{{{x^2} - 1 + {y^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {y^2}}} - \frac{{2yi}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {y^2}}} \end{array}\)
Vậy phần ảo của số phức \(\frac{z+1}{z-1}\) là \(\frac{{-2 y}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {y^2}}}\)
