Cho các số phức \(z_{1}, z_{2}, z_{3}\) thoả mãn các điều kiện \(\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|z_{1}-z_{2}\right|=3\). Mô đun của số phức \(z_{1}+z_{2}\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|z_{1}-z_{2}\right|=3 \Leftrightarrow\left|\frac{z_{1}}{3}\right|=\left|\frac{z_{2}}{3}\right|=\left|\frac{z_{1}-z_{2}}{3}\right|=1 \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} \frac{z_{1}}{3}=\cos \varphi_{1}+i \sin \varphi_{1} \\ \frac{z_{2}}{3}=\cos \varphi_{2}+i \sin \varphi_{2} \end{array}\right.\)
Suy ra \(\frac{z_{1}-z_{2}}{3}=\cos \varphi_{1}-\cos \varphi_{2}+i\left(\sin \varphi_{1}-\sin \varphi_{2}\right)\)
\(\left|\frac{z_{1}-z_{2}}{3}\right|=1 \Leftrightarrow\left(\cos \varphi_{1}-\cos \varphi_{2}\right)^{2}+\left(\sin \varphi_{1}-\sin \varphi_{2}\right)^{2}=1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2-2\left(\cos \varphi_{1} \cos \varphi_{2}+\sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2}\right)=1 \\ \Leftrightarrow 1-2 \cos \left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)=0 \Leftrightarrow \cos \left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)=\frac{1}{2} \end{array}\)
Vậy \(\frac{z_{1}+z_{2}}{3}=\cos \varphi_{1}+\cos \varphi_{2}+i\left(\sin \varphi_{1}+\sin \varphi_{2}\right)\)
Suy ra \(\left|\frac{z_{1}+z_{2}}{3}\right|^{2}=\left(\cos \varphi_{1}+\cos \varphi_{2}\right)^{2}+\left(\sin \varphi_{1}+\sin \varphi_{2}\right)^{2}=2+2 \cos \left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)=3\)
Vậy \(\left|z_{1}+z_{2}\right|=3 \sqrt{3}\)
Câu hỏi liên quan
-
Xét các số phức \(z=x+y i(x ; y \in \mathbb{R})\) có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là đường tròn có phương trình \((C):(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=4\). Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức \(w=z+\bar{z}+2 i\)
-
Cho số phức z thỏa mãn \(\left( {2 + 3i} \right)z - \left( {1 + 2i} \right)\bar z = 7 - i\). Tìm mô đun của z.
-
Cho các số phức \(z_{1}=1-2 i ; z_{2}=1-3 i\) . Tính môđun của số phức \(\bar z_{1}+\bar z_{2}\)
-
Cho số phức \(z=2+5 i\) . Tìm số phức \(w=i z+\bar{z}\)?
-
Cho số phức z thỏa mãn \(2|z-2+3 i|=|2 i-1-2 \bar{z}|\) . Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường thẳng có phương trình nào sau đây:
-
Xét số phức z thỏa mãn \(\left\{\begin{array}{l} |z-i|=|z-1| \\ |z-2 i|=|z| \end{array}\right.\) Mệnh đề nào sau đây là đúng?
-
Tính môđun của số phức z thỏa mãn \(3 z \cdot \bar{z}+2017(z-\bar{z})=12-2018 i\)
-
Cho hai số phức z, w thỏa mãn \(|z|=3 \text { và } \frac{1}{z}+\frac{1}{w}=\frac{1}{z+w}\)Khi đó |w| bằng:
-
Cho số phức z = 10i - 8 Tìm phần thực, phần ảo của số phức w = z - i
-
Cho số phức z thỏa mãn \((1-i) z+4 \bar{z}=7-7 i\). Khi đó, môđun của z bằng bao nhiêu?
-
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: \(\left( {1 + i} \right)\overline z - 1 - 3i = 0\). Phần ảo của số phức w = 1 - iz + z là
-
Cho số phức \(w=(1+i) z+2 \text { biết }|1+i z|=|z-2 i|\) . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
-
Cho số phức z thỏa mãn \(z\left( {2 - i} \right) + 13i = 1\). Tính môđun của số phức z
-
Giảsử M là điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z . Tập hợp các điểm M thoả mãn điều kiện sau đây: \(|z-1+i|=21\) là một đường tròn có bán kính bằng:
-
Cho số phức \(z=a+b i(a, b \in \mathbb{R})\), thỏa mãn \((-2+2 i) z=10+6 i . \text { Tính } P=a+b\)
-
Cho số phức \(z_{1}=1-2 i, z_{2}=-3+i\) . Tìm điểm biểu diễn của số phức \(z=z_{1}+z_{2}\) trên mặt phẳng tọa độ.
-
Điểm M trong hình bên là điểm biểu diễn cho số phức
-
Có bao nhiêu số phức thỏa mãn \(z + {\left| z \right|^2}.i - 1 - \frac{3}{4}i = 0\)
-
Tìm các số thực x, y sao cho: (1 - 2i)x + (1 + 2i)y = 1 + i
-
Tìm phần ảo của số phức z, biết (1+i)z = 3-i
