Cho hai số phức z1 và z2 thỏa mãn \(\left|z_{1}\right|=3,\left|z_{2}\right|=4,\left|z_{1}-z_{2}\right|=\sqrt{37}\). Xét số phức \(z=\frac{z_{1}}{z_{2}}=a+b i\) Tìm |b|
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(z_{1}=x+y i, z_{2}=c+d i(x, y, c, d \in \mathbb{R})\)
Ta có \(\left|z_{1}\right|=3 \Rightarrow x^{2}+y^{2}=9 ;\left|z_{2}\right|=4 \Rightarrow c^{2}+d^{2}=16\)
\(\begin{array}{l} \left|z_{1}-z_{2}\right|=\sqrt{37} \Rightarrow(x-c)^{2}+(y-d)^{2}=37 \\ \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+c^{2}+d^{2}-2 x c-2 y d=37 \Leftrightarrow x c+y d=-6 \end{array}\)
Lại có
\(\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{x+y i}{c+d i}=\frac{(x+y i)(c-d i)}{c^{2}+d^{2}}=\frac{x c+y d+(y c-x d) i}{c^{2}+d^{2}}=\frac{x c+y d}{c^{2}+d^{2}}+\frac{y c-x d}{c^{2}+d^{2}} i=a+b i\)
\(=-\frac{3}{8}+b i\)
Mà \(\left|\frac{z_{1}}{z_{2}}\right|=\frac{\left|z_{1}\right|}{\left|z_{2}\right|}=\frac{3}{4}=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \Leftrightarrow a^{2}+b^{2}=\frac{9}{16} \Rightarrow b^{2}=\frac{9}{16}-\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{27}{64} \Rightarrow b=\pm \frac{3 \sqrt{3}}{8}\)
Nên \(|b|=\frac{3 \sqrt{3}}{8}\)
