Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, AD = a, AB = 2a, BC = 3a, SA = 2a, H là trung điểm cạnh AB, SH là đường cao của hình chóp S.ABCD Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Ta có; \(\begin{array}{l} SH = a\sqrt 3 ;\\ HC = a\sqrt {10} ;\\ HD = a\sqrt 2 ;\\ DC = a\sqrt 8 ;\\ \to H{C^2} = H{D^2} + D{C^2} \end{array}\)
Vậy tam giác HDC vuông tại D.
Gọi M là trung điểm của CD.
Ta có: \(\frac{{d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right)}} = \frac{{OA}}{{OH}} = \frac{{AD}}{{HM}} = \frac{{2AD}}{{AD + BC}} = \frac{1}{2}\)
\( \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{1}{2}.d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{1}{2}.HK\)
Trong đó K là hình chiếu vuông góc của H lên SD. Ta có:
\(\begin{array}{l} \frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{H{D^2}}} + \frac{1}{{H{S^2}}} = \frac{1}{{2{a^2}}} + \frac{1}{{3{a^2}}} = \frac{5}{{6{a^2}}}\\ \Rightarrow HK = \frac{{a\sqrt 6 }}{{\sqrt 5 }} \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 6 }}{{2\sqrt 5 }} = \frac{{a\sqrt {30} }}{{10}} \end{array}\)
