Cho hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh bên và cạnh đáy cùng bằng a. Khi đó, khoảng cách h giữa đường thẳng AD và mặt phẳng (SBC) là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
\(d\left( AD,\left( SBC \right) \right)=d\left( A,\left( SBC \right) \right)=2d\left( O,\left( SBC \right) \right)\) với O là tâm hình vuông ABCD.
Gọi I là trung điểm \(BC\Rightarrow \left\{ \begin{align} & BC\bot OI \\ & BC\bot SO \\ \end{align} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SOI \right)\Rightarrow \left( SBC \right)\bot \left( SOI \right)\)
Ta có \(\left( SBC \right)\cap \left( SOI \right)=SI\), kẻ \(OH\bot SI\) tại H \(\Rightarrow OH\bot \left( SBC \right)\Rightarrow d\left( O,\left( SBC \right) \right)=OH\)
\(AO=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2},SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{O}^{2}}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)
\(OH=\frac{SO.OI}{\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{I}^{2}}}}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{a}{2}}{\sqrt{\frac{2{{a}^{2}}}{4}+\frac{{{a}^{2}}}{4}}}=\frac{a\sqrt{6}}{6}\)
\(d\left( AD,\left( SBC \right) \right)=2OH=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)
