Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Chứng minh rằng khoảng cách từ các điểm A’, B, D; C, B’, D tới đường chéo AC’ bằng nhau. Tính khoảng cách đó.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Điểm A cách đều ba đỉnh của tam giác đều A’BD vì ta có AB=AD=AA′=a, điểm C’ cũng cách đều ba đỉnh của tam giác đều đó vì ta có:
\( C'B = C'D = C'A' = a\sqrt 2 \)
Vậy AC’ là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác A’BD, tức là đường thẳng AC’ vuông góc với mặt phẳng (A’BD) tại trọng tâm I của tam giác A’BD. Ta cần tìm khoảng cách A’I.
Ta có \( A'I = BI = DI = \frac{2}{3}A'O\) với O là tâm của hình vuông ABCD
Ta lại có
\( AO' = B{\rm{D}}\frac{{\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\)
Vậy \( A'I = \frac{2}{3}A'O = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 6 }}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)
Tương tự điểm C’ cách đều ba đỉnh của tam giác đều CB’D’, tính được khoảng cách từ C, B’, D’ tới đường chéo AC’.
