Cho tứ diện ABCD có AC = AD = BC = BD = 1, mặt phẳng \(\left( {ABC} \right) \bot \left( {ABD} \right)\) và \(\left( {ACD} \right) \bot \left( {BCD} \right)\). Khoảng cách từ A đến mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi \(H,\,\,K\) lần lượt là trung điểm của CD và AB.
\(\Delta ACD\) cân tại A nên \(AH \bot CD \Rightarrow AH \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow d\left( {A;\,\,\left( {BCD} \right)} \right) = AH\)
Đặt AH = x.
\(HD = \sqrt {A{D^2} – A{H^2}} = \sqrt {1 – {x^2}} \).
\(\Delta BCD = \Delta ACD \Rightarrow HB = HA = x\) (hai đường cao tương ứng bằng nhau).
\( \Rightarrow \frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{H{A^2}}} + \frac{1}{{H{B^2}}} = \frac{2}{{{x^2}}} \Rightarrow HK = \frac{{x\sqrt 2 }}{2}\)
Mặt khác, ta lại có:
\(\Delta ABD\) cân tại D nên \(DK \bot AB \Rightarrow AH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow DK \bot CK \Rightarrow \Delta KCD\) là tam giác vuông tại K
Suy ra \(HK = \frac{1}{2}CD \Leftrightarrow HK = HD \Leftrightarrow \frac{{x\sqrt 2 }}{2} = \sqrt {1 – {x^2}} \Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) bằng \(\frac{{\sqrt 6 }}{3}\)
