Cho hình lập phương ABCD. A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khi đó, khoảng cách giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (CB'D') bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ
\(A\left( {0;0;0} \right);\,B\left( {1;0;0} \right);\,D\left( {0;1;0} \right);\,A'\left( {0;0;1} \right)\)
\(C\left( {1;1;0} \right);\,B'\left( {1;0;1} \right);\,D'\left( {0;1;1} \right);\,C'\left( {1;1;1} \right)\)
\(\overrightarrow {CB'} = \left( {0; - 1;1} \right);\,\overrightarrow {CD'} = \left( { - 1;0;1} \right)\)
Viết phương trình mặt phẳng (CB'D')
Có VTPT \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {CB'} ;\overrightarrow {CD'} } \right] = \left( { - 1; - 1; - 1} \right)\)
\(\left( {CB'D'} \right):1\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 1} \right) + 1\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y + z - 2 = 0\)
\(d\left( {BD;\left( {CB'D'} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {CB'D'} \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 0 + 0 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)
Vậy \(d\left( {BD;\left( {CB'D'} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
