Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 450. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AC.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
(SBC) chứa SC và song song với AD. Đường thẳng qua O vuông góc với BC cắt BC, AD lần lượt tại E, F. Vì O là trung điểm của È nên ta có:
d(AD,SC) = d(F, (SBC)) = 2d(O, (SBC)). Kẻ OH vuông góc với SE tại H (1)
\(BC\bot EF,BC\bot SO\Rightarrow BC\bot \left( SEF \right)\Rightarrow BC\bot OH\begin{matrix} {} & \left( 2 \right) \\ \end{matrix}\)
Từ (1) (2) và BC cắt SE \(\Rightarrow OH\bot (SBC)\). Tam giác SOE vuông tại O nên ta có:
\(\frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{O{{S}^{2}}}+\frac{1}{O{{E}^{2}}}=\frac{1}{O{{S}^{2}}}+\frac{1}{O{{B}^{2}}}+\frac{1}{O{{C}^{2}}}=\frac{20}{3{{a}^{2}}}\)
\(\Rightarrow OH=\frac{a\sqrt{15}}{10}\Rightarrow d\left( AD;SC \right)=\frac{a\sqrt{15}}{5}.\) Gọi M sao cho ABMC là hình bình hành
Vẽ AH vuông góc với BM tại H, AK vuông góc SH tại K. Suy ra, AK vuông góc (SBM)
Ta có: \(\frac{1}{A{{K}^{2}}}=\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{2{{a}^{2}}}+\frac{4}{2{{a}^{2}}}=\frac{5}{2{{a}^{2}}}\)
Vì AC song song (SMB) suy ra: \(d\left( AC,SB \right)=d\left( A;\left( SBM \right) \right)=AK=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\)
