Cho hình chóp tam giác đều (S.ABC ) cạnh đáy bằng 2a và chiều cao bằng \(a\sqrt3\). Tính khoảng cách từ tâm O của đáy ABC đến một mặt bên.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.PNG)
Gọi M là trung điểm AB, dựng OK⊥SM, ta chứng minh OK⊥mp(SAB).
Do S.ABC là hình chóp đều và O là tâm của đáy ABC nên SO⊥(ABC)⇒SO⊥AB.
Do tam giác ABC đều và M là trung điểm AB nên AB⊥CM.
Từ SO⊥AB và AB⊥CM suy ra AB⊥(SCM)⇒AB⊥OK
Từ OK⊥SM và AB⊥OK suy ra OK⊥mp(SAB). Bởi vậy \( d\left( {O;\left( {SAB} \right)} \right) = OK\)
Ta có \( OM = \frac{1}{3}CM = \frac{1}{3}.\frac{{\left( {2a} \right)\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
Trong tam giác SOM vuông tại O ta có:
\( \frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{1}{{O{M^2}}} + \frac{1}{{S{O^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}} = \frac{{10}}{{3{a^2}}} \Rightarrow OK = a\sqrt {\frac{3}{{10}}} \)
