Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a và \(\widehat {SBA} = \widehat {SCA} = {90^0}.\) Biết góc giữa đường thẳng SA và mặt đáy bằng 450. Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi I là trung điểm của SA.
Tam giác SAB và SAC là các tam giác vuông tại \(B,C \Rightarrow IS = IA = IB = IC\).
Gọi G là trọng tâm tam giác đều \(ABC \Rightarrow IG \bot \left( {ABC} \right)\)
Trong SAG kẻ \(SH//IG\left( {H \in CG} \right) \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\)
Dễ thấy khi đó IG là đường trung bình của tam giác \(SAH \Rightarrow SH = 2IG\)
Tam giác ABC đều cạnh =\(2a \Rightarrow AG = \frac{2}{3}.\frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\)
Ta có: \(\widehat {\left( {SA,\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SA,AH} \right)} = \widehat {SAH} = {45^0} \Rightarrow \Delta AIG\) vuông cân tại G
\( \Leftrightarrow IG = AG = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow SH = 2IG = \frac{{4a\sqrt 3 }}{3}\)
\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{4a\sqrt 3 }}{3}.\frac{{{{\left( {2a} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{4{a^3}}}{3}\)
Ta có: \(GA = GB = GC,GA = GH\) ( IG là đường trung bình của tam giác SAH)
\( \Rightarrow GA = GB = GC = GH \Rightarrow G\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABHC.
AH là đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABHC \( \Leftrightarrow \widehat {ACH} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Ta có: \(AH = 2AG = \frac{{4a\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow CH = \sqrt {A{H^2} – A{C^2}} = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\)
\( \Rightarrow SC = \sqrt {S{H^2} + H{C^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{4a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}} = \frac{{2\sqrt {15} a}}{3}\)
\({S_{SAC}} = \frac{1}{2}SC.AC = \frac{1}{2}.\frac{{2\sqrt {15} a}}{3}.2a = \frac{{2\sqrt {15} {a^2}}}{3}\)
Vậy \(d\left( {B,\left( {SAC} \right)} \right) = \frac{{3{V_{S.ABC}}}}{{{S_{SAC}}}} = \frac{{3.\frac{{4{a^3}}}{3}}}{{\frac{{2\sqrt {15} {a^2}}}{3}}} = \frac{{2a\sqrt {15} }}{5}\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD' và A'B' bằng bao nhiêu ?
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng \(a\sqrt{3};\widehat{ABC}={{120}^{0}}\) và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết rằng số đo của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC bằng:
-
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa AB và CD.
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD với \(AB=2a,BC=a\). Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng \(a\sqrt{2}\). Khoảng cách từ A đến mp (SCD) là:
-
Cho hình chóp O.ABC có đường cao \(OH = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OA và OB. Tính khoảng cách giữa đường thẳng MN và (ABC).
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh \(a\sqrt{3}\). SA vuông góc với đáy và SC = 3a. Khoảng cách từ điểm A đến mp(SCD) là:
-
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có ABC là tam giác vuông, \(AB=BC=1,AA'=\sqrt{2}\). M là trung điểm của cạnh BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM; B'C.
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng 2a. Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng ( SCD )
-
Cho hình chóp S.ABC có AS, AB, AC đôi một vuông góc với nhau, \(AB=a,AC=a\sqrt{2}\). Tính khoảng cách d từ đường thẳng SA đến BC
-
Cho hình chóp S.ABCD có \(SA \bot \left( {{\rm{ }}ABCD} \right),\) mặt đáy ABCD là hình thang vuông có chiều cao AB = a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính khoảng cách giữa đường thẳng IJ và (SAD).
-
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A'BC)
-
Cho tứ diện ABCD, \(DA \bot \left( {ABC} \right)\) và \(\widehat {ABC} = 90^\circ ,BA = a\sqrt 3 ,BC = a\). Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng \(\left( {DAB} \right)\).
-
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi một cạnh bên và mặt đáy bằng alpha . Khoảng cách từ tâm của đáy đến một cạnh bên bằng
-
Cho chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a.
Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SAC) bằng:
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a. Cạnh bên \( SA = a\sqrt 2 \) và vuông góc với đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ điểm B đến mặt phẳng (SCD)
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ A đến (SBD) bằng \(\frac{6a}{7}\) . Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) bằng:
-
Cho hình lập phương (ABCD.A'B'C'D' ) có cạnh bằng a. Khoảng cách từ đỉnh A của hình lập phương đó đến đường thẳng CD' bằng
-
Cho hình lập phương ABCD. A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khi đó, khoảng cách giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (CB'D') bằng
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, \(AB = a,{\rm{ }}AC = 2a,{\rm{ }}SA\) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 30o. Gọi M là một điểm trên cạnh AB sao cho \(BM = 3MA.\) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCM) là
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, \(SA \bot \left( {ABCD} \right),SA = a\sqrt 5 \). Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).
