Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a và \(\widehat {SBA} = \widehat {SCA} = {90^0}.\) Biết góc giữa đường thẳng SA và mặt đáy bằng 450. Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi I là trung điểm của SA.
Tam giác SAB và SAC là các tam giác vuông tại \(B,C \Rightarrow IS = IA = IB = IC\).
Gọi G là trọng tâm tam giác đều \(ABC \Rightarrow IG \bot \left( {ABC} \right)\)
Trong SAG kẻ \(SH//IG\left( {H \in CG} \right) \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\)
Dễ thấy khi đó IG là đường trung bình của tam giác \(SAH \Rightarrow SH = 2IG\)
Tam giác ABC đều cạnh =\(2a \Rightarrow AG = \frac{2}{3}.\frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\)
Ta có: \(\widehat {\left( {SA,\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SA,AH} \right)} = \widehat {SAH} = {45^0} \Rightarrow \Delta AIG\) vuông cân tại G
\( \Leftrightarrow IG = AG = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow SH = 2IG = \frac{{4a\sqrt 3 }}{3}\)
\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{4a\sqrt 3 }}{3}.\frac{{{{\left( {2a} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{4{a^3}}}{3}\)
Ta có: \(GA = GB = GC,GA = GH\) ( IG là đường trung bình của tam giác SAH)
\( \Rightarrow GA = GB = GC = GH \Rightarrow G\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABHC.
AH là đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABHC \( \Leftrightarrow \widehat {ACH} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Ta có: \(AH = 2AG = \frac{{4a\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow CH = \sqrt {A{H^2} – A{C^2}} = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\)
\( \Rightarrow SC = \sqrt {S{H^2} + H{C^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{4a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}} = \frac{{2\sqrt {15} a}}{3}\)
\({S_{SAC}} = \frac{1}{2}SC.AC = \frac{1}{2}.\frac{{2\sqrt {15} a}}{3}.2a = \frac{{2\sqrt {15} {a^2}}}{3}\)
Vậy \(d\left( {B,\left( {SAC} \right)} \right) = \frac{{3{V_{S.ABC}}}}{{{S_{SAC}}}} = \frac{{3.\frac{{4{a^3}}}{3}}}{{\frac{{2\sqrt {15} {a^2}}}{3}}} = \frac{{2a\sqrt {15} }}{5}\)
