Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng \(a\sqrt{3};\widehat{ABC}={{120}^{0}}\) và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết rằng số đo của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC bằng:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiKẻ \(CM//B\text{D},\,AN\bot BC,AH\bot SC\) suy ra \(AC\bot CM\) và \(d\left( A,\left( SCM \right) \right)=AH\). Gọi \(\left\{ I \right\}=AD\cap CM\to \frac{ID}{IA}=\frac{DC}{AM}=\frac{1}{2}\)
Theo bài ra ta có góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là góc SNA nên
\(SNA={{60}^{0}}\to SA=AN\tan {{60}^{0}}=\frac{3a\sqrt{3}}{2}\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SAC vuông taị A ta có
\(\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{A{{C}^{2}}}=\frac{13}{27{{a}^{2}}}\to AH=\frac{3a\sqrt{39}}{13}\)
Ta có: \(d\left( BD,SC \right)=d\left( BD,\left( SCM \right) \right)=d\left( D,\left( SCM \right) \right)=\frac{1}{2}d\left( A,\left( SCM \right) \right)\)
Suy ra \(d\left( BD,SC \right)=\frac{3a\sqrt{39}}{26}\)
