Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC); góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (SMC)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.PNG)
\(\begin{array}{l} {60^0} = \widehat {\left( {SB;\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SB;AB} \right)} = \widehat {SBA};\\ SA = AB.\tan \widehat {SBA} = a.\sqrt 3 = a\sqrt 3 . \end{array}\)
Do M là trung điểm của cạnh AB nên
\(d\left( {B;\left( {SMC} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SMC} \right)} \right)\)
Trong (SAB) kẻ AK⊥SM(1)
Ta có :
\(\left\{ \begin{array}{l} CM \bot AB\\ CM \bot SA \end{array} \right. \to CM \bot (SAB) \to CM \bot AK(2)\)
Từ (1) và (2)
\( \Rightarrow AK \bot \left( {SCM} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SMC} \right)} \right) = AK.\)
Tam giác vuông SAM, có
\( AK = \frac{{SA.AM}}{{\sqrt {S{A^2} + A{M^2}} }} = \frac{{a\sqrt {39} }}{{13}}\)
Vậy \( d\left( {B;\left( {SMC} \right)} \right) = AK = \frac{{a\sqrt {39} }}{{13}}\)
