Cho hình chóp S.ABCD có SD vuông góc với \(\left( {ABCD} \right), SD = {\rm{a}}\sqrt 5 \). Đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với CD = 2AD = 2AB = 2a. Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thằng AC và SM.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi N là trung điểm của AB. Suy ra MN là đường trung bình của \(\Delta ABC\).
\( \Rightarrow d\left( {AC,SM} \right) = d\left( {AC,\left( {SMN} \right)} \right) = d\left( {I,\left( {SMN} \right)} \right)\) ( với \(I = DN \cap AC\))
Ta có
\(ID \cap \,\left( {SMN} \right) = N \Rightarrow \frac{{d\left( {I,\left( {SMN} \right)} \right)}}{{d\left( {D,\left( {SMN} \right)} \right)}} = \frac{{IN}}{{DN}} = \frac{1}{5}\) ( do \(AN{\rm{//}}\,CD \Rightarrow \frac{{IN}}{{ID}} = \frac{{AN}}{{CD}} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{{IN}}{{DN}} = \frac{1}{5}\))
\( \Rightarrow d\left( {I,\left( {SMN} \right)} \right) = \frac{1}{5}d\left( {D,\left( {SMN} \right)} \right)\).
Xét \(\Delta ADN\) và \(\Delta DCA\) có
\(\widehat D = \widehat A = 90^\circ \)
\(\frac{{AN}}{{AD}} = \frac{{AD}}{{DC}} = \frac{1}{2}\)
\( \Rightarrow \Delta ADN\, = \Delta DCA\;\left( {c.g.c} \right)\)
\( \Rightarrow \widehat {ADN} = \widehat {DCA}\)
\( \Rightarrow DN \bot AC \Rightarrow MN \bot \left( {SDN} \right)\).
Ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SMN} \right) \bot \left( {SDN} \right)\\\left( {SMN} \right) \cap \left( {SDN} \right) = SN\\Trong\,\left( {SDN} \right),\,DH \bot SN\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {D,\left( {SMN} \right)} \right) = DH\)
\(\Delta SDN\) vuông tại D: \(\frac{1}{{D{H^2}}} = \frac{1}{{S{D^2}}} + \frac{1}{{D{N^2}}} \Rightarrow DH = a\)
\( \Rightarrow d\left( {I,\left( {SMN} \right)} \right) = \frac{1}{5}d\left( {D,\left( {SMN} \right)} \right) = \frac{a}{5}\).
