Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông \(BD=2a,\Delta SAC\) vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, \(SC=a\sqrt{3}\). Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAD) là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
\(BD=AC=2a,CD=\frac{BD}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2},SA=\sqrt{A{{C}^{2}}-S{{C}^{2}}}=a\)
\(SH=\frac{SA.SC}{AC}=\frac{a.a\sqrt{3}}{2a}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
\(AH=\sqrt{S{{A}^{2}}-S{{H}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\frac{3{{a}^{2}}}{4}}=\frac{a}{2}\)
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.
Ta có \(d\left( B,\left( SAD \right) \right)=2d\left( O,\left( SAD \right) \right)=4d\left( H,\left( SAD \right) \right)\)
Kẻ \(HI//BD\left( I\in BD \right),HI=\frac{1}{4}CD=\frac{a\sqrt{2}}{4}\). Kẻ \(HK\bot SI\) tại K \(\Rightarrow HK\bot \left( SAD \right)\)
\(\Rightarrow d\left( B,\left( SAD \right) \right)=4HK=4.\frac{SH.HI}{\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{I}^{2}}}}=4.\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}\frac{a\sqrt{2}}{4}}{\sqrt{\frac{3{{a}^{2}}}{4}+\frac{2{{a}^{2}}}{16}}}=\frac{2a\sqrt{21}}{7}\)
