Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2a và cạnh bên bằng \(\frac{{a\sqrt {37} }}{3}\). Gọi M là trung điểm cạnh SA. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BM.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABDC.
Khi đó, \(AC\,{\rm{//}}\,BD \Rightarrow AC\,{\rm{//}}\,\left( {MBD} \right) \Rightarrow {\rm{d}}\left( {AC\,,\,BM} \right) = {\rm{d}}\left( {AC\,,\,\left( {MBD} \right)} \right) = {\rm{d}}\left( {A\,,\,\left( {MBD} \right)} \right)\).
Gọi O là trọng tâm tam giác ABC. Suy ra \(SO \bot \left( {ABC} \right)\).
Gọi H là trung điểm AO. Suy ra \(MH\,{\rm{//}}\,SO \Rightarrow MH \bot \left( {ABC} \right)\).
Vẽ \(HK \bot BD\) tại K. Suy ra \(HK\,{\rm{//}}\,BO\). Suy ra \(\frac{{BO}}{{HK}} = \frac{{OD}}{{HD}} = \frac{4}{5} \Rightarrow HK = \frac{5}{4}BO\).
Mà \(BO = \frac{2}{3}\,.\,2a\,.\,\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\) suy ra \(HK = \frac{5}{4}.\frac{{2a\sqrt 3 }}{3} = \frac{{5a\sqrt 3 }}{6}\).
Vẽ \(HI \bot MK\) tại I. Suy ra \({\rm{d}}\left( {H\,,\,\left( {MBD} \right)} \right) = HI\).
Ta có, \(S{O^2} = S{A^2} – A{O^2} = {\left( {\frac{{a\sqrt {37} }}{3}} \right)^2} – {\left( {\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = \frac{{25a}}{9} \Rightarrow SO = \frac{{5a}}{3} \Rightarrow MH = \frac{{5a}}{6}\)
Mà \(\frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{1}{{M{H^2}}} + \frac{1}{{H{K^2}}}\) suy ra \(HI = \frac{{5a\sqrt 3 }}{{12}} \Rightarrow {\rm{d}}\left( {H\,,\,\left( {MBD} \right)} \right) = HI = \frac{{5a\sqrt 3 }}{{12}}\).
Mà \(\frac{{{\rm{d}}\left( {H\,,\,\left( {MBD} \right)} \right)}}{{{\rm{d}}\left( {A\,,\,\left( {MBD} \right)} \right)}} = \frac{{HD}}{{AD}} = \frac{5}{6} \Rightarrow {\rm{d}}\left( {A\,,\,\left( {MBD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Vậy \({\rm{d}}\left( {AC\,,\,BM} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, \(SA=a\) và vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\), \(AB=a,\text{ }AC=a\sqrt{3}\). Tam giác \(SBC\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Tính khoảng cách từ \(B\) đến mặt phẳng \(\left( SAC \right)\).
-
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng 2 và cạnh bên bằng 3 (tham khảo hình bên). Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
.png)
-
Cho hình lập phương (ABCD.A'B'C'D' ) có cạnh bằng a. Khoảng cách từ đỉnh A của hình lập phương đó đến đường thẳng CD' bằng
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh \(\sqrt 3 a\), SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng
-
Cho lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy ABCD là hình chữ nhật. \(AB=a,AD=a\sqrt{3}\). Hình chiếu vuông góc của điểm A' trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và \(BD.\) Tính khoảng cách từ điểm B' đến mặt phẳng (A'BD) theo a là:
-
Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối trong một tứ diện đều cạnh a.
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a. Gọi M là trung điểm của CD. Khoảng cách từ M đến (SAB) nhận giá trị nào trong các giá trị sau?
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh B, AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, \(AB=a,AD=2a\) ; cạnh bên \(SA=a\) và vuông góc với đáy. Khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng \(\left( SBD \right)\) là
-
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Khoảng cách giữa (ACB') và (DA'C') bằng
-
Cho hình chóp S.ABCD có SD vuông góc với \(\left( {ABCD} \right), SD = {\rm{a}}\sqrt 5 \). Đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với CD = 2AD = 2AB = 2a. Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thằng AC và SM.
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD, DC. Gọi H là giao điểm của CN và DM, biết SH vuông góc (ABCD), \(SH = a\sqrt 3 \). Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBP) tính theo a bằng
-
Cho hình chóp (S.ABCD ) có đáy ABCD là hình vuông, \(\frac{{SB}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{SC}}{{\sqrt 3 }} = a\). Cạnh SA vuông góc (ABCD), khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) bằng:
-
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Khi đó khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (SCD) bằng
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, \(SA \bot \left( {ABCD} \right),SA = a\sqrt 5 \). Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).
-
Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt đá; \(BC=9m,AB=10m,AC=17m\). Biết thể tích khối chóp S.ABC bằng 73m3. Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
-
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng A. Khoảng cách từ ba điểm nào sau đây đến đường chéo AC' bằng nhau?
-
Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A, D, AD = 2a. Trên đường thẳng vuông góc với (ABCD) tại D lấy điểm S với \(SD = a\sqrt 2 .\) Tính khoảng cách giữa DC và (SAB).
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, \(S\text{D}=\frac{a\sqrt{17}}{2}\) hình chiếu vuông góc H của S lên mặt (ABCD) là trung điểm của đoạn \(AB.\) Gọi K là trung điểm của \(AD.\) Tính khoảng cách giữa hai đường SD và HK theo a?
