Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên). Khoảng cách từ A đến mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) bằng
.png)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi H là trung điểm của AB. Khi đó, \(SH \bot \left( {ABCD} \right).\)
Gọi O là giao điểm của AC và BD suy ra \(AC \bot BD\). Kẻ \(HK \bot BD\) tại K (K là trung điểm BO).
Kẻ \(HI \bot SH\) tại I. Khi đó: \(d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = 2d\left( {H,\left( {SBD} \right)} \right) = 2HI.\)
Xét tam giác SHK, có: \(SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},HK = \frac{1}{2}AO = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\).
Khi đó: \(\frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{{28}}{{3{a^2}}} \Rightarrow HI = \frac{{a\sqrt {21} }}{{14}}.\)
Suy ra: \(d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = 2HI = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}.\)
