Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC có \(AC=a\sqrt{3};BC=3a,\widehat{ACB}={{30}^{0}}\). Cạnh bên hợp với mặt phẳng đáy góc \({{60}^{0}}\) và mặt phẳng (A’BC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Điểm H trên cạnh BC sao cho BC=3BH và mặt phẳng (A’AH) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (A’AC) là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiKẻ \(\left\{ \begin{align} & HD\bot AC \\ & AC\bot A'H \\ \end{align} \right.=>AC\bot (A'HD)=>(A'AC)\bot (A'HD)=A'D\)
Ta có: \(HD=CH.\sin {{30}^{0}}=a\). Kẻ \(HK\bot A'D=>HK\bot (A'AC)=>HK=d(H;(A'AC))\)
Xét tam giác A’HD vuông tại H có: \(\frac{1}{H{{K}^{2}}}=\frac{1}{H{{D}^{2}}}+\frac{1}{A'{{H}^{2}}}<=>HK=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
Ta lại có: \(\frac{d(B;(A'AC))}{d(H;(A'AC))}=\frac{BC}{HC}=\frac{3}{2}=>d(B;(A'AC))=\frac{3}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{3a\sqrt{3}}{4}\)
Vậy \({{V}_{ABC.A'B'C'}}=\frac{9{{a}^{3}}}{4};d(B,(A'AC))=\frac{3a\sqrt{3}}{4}\)
