Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, \(AB = a,AC = a\sqrt 3\) . Tam giác SBC đều và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (SAC)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi H là trung điểm của BC, suy ra SH⊥BC⇒SH⊥(ABC).
Gọi K là trung điểm AC, suy ra HK⊥AC
Kẻ HE⊥SK (E∈SK).(1)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} AC \bot HK\\ AC \bot SH \end{array} \right. \Rightarrow AC \bot (SHK) \Rightarrow AC \bot HE(2)\)
Từ (1) và (2)
\( \Rightarrow HE \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow HE = d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right)\)
.PNG)
Ta có :
\( BH \cap \left( {SAC} \right) = C \Rightarrow \frac{{d\left( {B;\left( {SAC} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right)}} = \frac{{BC}}{{HC}} = 2 \Rightarrow d\left( {B;\left( {SAC} \right)} \right) = 2d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right) = 2HE\)
Tam giác ABC vuông tại A nên
\( BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{a^2} + 3{a^2}} = 2a\)
Tam giác SBC đều cạnh 2a nên đường cao
\( SH = \frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \)
Lại có HK là đường trung bình của tam giác ABC nên
\( HK = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}\)
Vậy \( d\left( {B;\left( {SAC} \right)} \right) = 2HE = \frac{{SH.HK}}{{\sqrt {S{H^2} + H{K^2}} }} = \frac{{2a\sqrt {39} }}{{13}}.\)
