Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Góc giữa \(CA'\) và mặt \((AA'B'B)\) bằng \(30{}^\circ \). Gọi d(AI’,AC) là khoảng cách giữa \(A'I\) và AC, kết quả tính d(AI’,AC) theo a với I là trung điểm AB là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có : \(\left\{ \begin{array}{l} CI \bot AB\\ CI \bot AA'\,\,(AA' \bot (ABC))\\ Trong\,\,(AA'B'B):\,\,AB \cap AA' = \left\{ A \right\} \end{array} \right. \Rightarrow CI \bot (AA'B'B)\)
Suy ra góc giữa CA’ và \((AA'B'B)\) chính là góc
giữa CA’ và IA’ và bằng góc \(\widehat{CA'I}=30{}^\circ \)
Do đó \(A'I=\frac{IC}{\tan \widehat{CA'I}}=\frac{3a}{2}\) ; với \(IC=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
Suy ra: \(AA'=\sqrt{A'{{I}^{2}}-A{{I}^{2}}}=\sqrt{\frac{9{{a}^{2}}}{4}-\frac{{{a}^{2}}}{4}}=a\sqrt{2}\)
Kẻ \(Ix\parallel AC\). Khi đó \(d(AC,A'I)=d(AC,(A'I,Ix))=d(A,(A'I,Ix))\)
Kẻ \(AE\bot Ix\) tại E và \(AF\bot A'E\) tại F. Ta chứng minh được: \(d\left( A,(A'I,Ix) \right)=AF\)
Ta có: \(AE=AI.\sin \widehat{AIE}=\frac{a}{2}.\sin 60{}^\circ =\frac{a\sqrt{3}}{4}\) và \(\frac{1}{A{{F}^{2}}}=\frac{1}{A'{{A}^{2}}}+\frac{1}{A{{E}^{2}}}=\frac{1}{2{{a}^{2}}}+\frac{16}{3{{a}^{2}}}=\frac{35}{6{{a}^{2}}}\Rightarrow AF=\frac{a\sqrt{210}}{35}\)
Vậy: \(d\left( AC,A'I \right)=AF=\frac{a\sqrt{210}}{35}\).