Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, biết \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và AB = 2a, AC = 3a, SA = 4a. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Ta có
\(\left. \begin{array}{l}SA \bot \left( {ABC} \right)\\BC \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow SA \bot BC\).
Trong \(\left( {ABC} \right)\), kẻ \(AH \bot BC\), mà \(BC \bot SA \Rightarrow BC \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow BC \bot SH\).
Trong \(\left( {SAH} \right)\), kẻ \(AK \bot SH\), mà \(SH \bot BC\Rightarrow AK \bot \left( {SBC} \right)\) hay \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AK\).
Vì \(\Delta ABC\) vuông tại A nên \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {13} a\).
Mặt khác có AH là đường cao nên \(AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{6a\sqrt {13} }}{{13}}\).
Vì \(\Delta SAH\) vuông tại A nên \(SH = \sqrt {S{A^2} + A{H^2}} = \frac{{2a\sqrt {793} }}{{13}}\).
Vậy có AK là đường cao \(AK = \frac{{SA.AH}}{{SH}} = \frac{{12a\sqrt {61} }}{{61}}\).
