Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm H của cạnh AB. Góc tạo bởi SC và (ABCD) bằng 450. Tính theo a tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AB.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Xác định được đúng góc giữa SC và (ABCD) là \(SCH={{45}^{0}}\)
Tính được \(HC=\frac{a\sqrt{5}}{2}\Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{5}}{2}\)
Vì \(AB//\left( SC\text{D} \right),H\in \text{A}B\) nên \(d\left( AB;S\text{D} \right)=d\left( AB,\left( SC\text{D} \right) \right)=d\left( H,\left( SC\text{D} \right) \right)\)
Gọi I là trung điểm của CD. Trong (SHI), dựng \(HK\bot \text{SI}\) tại K
Chứng minh được \(\text{HK}\bot \left( SC\text{D} \right)\Rightarrow d\left( H;\left( SC\text{D} \right) \right)=HK\)
Xét tam giác SHI vuông tại H, HK đường cao:
\(\frac{1}{H{{K}^{2}}}=\frac{1}{S{{H}^{2}}}+\frac{1}{H{{I}^{2}}}=\frac{4}{5{{\text{a}}^{2}}}+\frac{1}{{{a}^{2}}}=\frac{9}{5{{\text{a}}^{2}}}\Rightarrow HK=\frac{a\sqrt{5}}{3}\)
Vậy \(d\left( AB;S\text{D} \right)=HK=\frac{a\sqrt{5}}{3}\)
