Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC), gọi M là điểm thuộc cạnh SC sao cho \(MC=2MS\). Biết \(AB=3,BC=3\sqrt{3}\), tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BM.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Từ M kẻ đường thẳng song song với AC cắt SA tại
\(N\Rightarrow AC||MN\Rightarrow AC||\left( BMN \right)\)
\(AC\bot AB,AC\bot SH\Rightarrow AC\bot \left( SAB \right)\)
\(AC||MN\Rightarrow MN\bot \left( SAB \right)\Rightarrow MN\bot \left( SAB \right)\)
\(\Rightarrow \left( BMN \right)\bot \left( SAB \right)\) theo giao tuyến BN.
Ta có:
\(AC||\left( BMN \right)\Rightarrow d\left( AC,BM \right)=d\left( AC,\left( BMN \right) \right)\)
\(=d\left( A,\left( BMN \right) \right)=AK\)với K là hình chiếu của A trên BN.
\(\frac{NA}{SA}=\frac{MC}{SC}=\frac{2}{3}\Rightarrow {{S}_{ABN}}=\frac{2}{3}{{S}_{SAB}}=\frac{2}{3}\frac{{{3}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\) (đvdt) và \(AN=\frac{2}{3}SA=2\)
\(BN=\sqrt{A{{N}^{2}}+A{{B}^{2}}-2AN.AB.\cos {{60}^{0}}}=\sqrt{7}\Rightarrow AK=\frac{2{{S}_{ABN}}}{BN}=\frac{2.\frac{3\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{21}}{7}\)
Vậy \(d\left( AC,BM \right)=\frac{3\sqrt{21}}{7}\) (đvđd)
