Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a, tam giác SBA vuông tại B, tam giác SAC vuông tại C. Biết góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(60^\circ \). Tính khoảng cách giữa SC và AB theo a.

A. \(\frac{{\sqrt 3 a}}{8}\)

B. \(\frac{{3a}}{{\sqrt {13} }}\)

C. \(\frac{{\sqrt 3 a}}{6}\)

D. \(\frac{{\sqrt 3 a}}{4}\)

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Môn: Toán Lớp 11

Chủ đề: Quan hệ vuông góc trong không gian

Bài: Khoảng cách

Lời giải:

Báo sai

Gọi D là hình chiếu của S lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), suy ra \(SD \bot \left( {ABC} \right)\).

Ta có \(SD \bot AB\) và \(SB \bot AB\left( {gt} \right)\), suy ra \(AB \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow BA \bot BD\)

Tương tự có \(AC \bot DC\) hay tam giác ACD vuông ở C.

Dễ thấy \(\Delta SBA = \Delta SCA\) (cạnh huyền và cạnh góc vuông), suy ra SB = SC.

Từ đó ta chứng minh được \(\Delta SBD = \Delta SCD\) nên cũng có DB = DC.

Vậy DA là đường trung trực của BC, nên cũng là đường phân giác của góc \(\widehat {BAC}\).

Ta có \(\widehat {DAC} = 30^\circ \), suy ra \(DC = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\). Ngoài ra góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là \(\widehat {SBD} = 60^\circ \), suy ra \(\tan \widehat {SBD} = \frac{{SD}}{{BD}} \Rightarrow SD = BD\tan \widehat {SBD} = \frac{a}{{\sqrt 3 }}.\sqrt 3 = a\).

Dựng hình bình hành ABEC, do tam giác ABC là tam giác đều nên tam giác BEC đều.

Có \(\widehat {CBD} = \widehat {ABD} – \widehat {ABC} = 90^\circ – 60^\circ = 30^\circ \) nên BD là phân giác trong của góc \(\widehat {CBE}\).

Gọi I là trung điểm của EC thì \(BI \bot EC\).

Kẻ \(DH \bot SI\) tại H, ta có: \(\frac{1}{{D{H^2}}} = \frac{1}{{S{D^2}}} + \frac{1}{{D{I^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} = \frac{{13}}{{{a^2}}} \Rightarrow DH = \frac{a}{{\sqrt {13} }} \Rightarrow d\left( {D,\left( {SCE} \right)} \right) = \frac{a}{{\sqrt {13} }}\).

Có \(AB/{\kern 1pt} /\left( {SEC} \right) \Rightarrow d\left( {AB,SC} \right) = d\left( {AB;\left( {SCE} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{BI}}{{DI}}d\left( {D;\left( {SCE} \right)} \right) = \frac{{3a}}{{\sqrt {13} }}\).