Hình chóp có đáy là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC=4a, (SBC) vuông góc với đáy. Biết SB = 2a\(\sqrt3\), góc SBC = 30o. Tính khoảng cách từ B đến (SAC)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
\(\text{SH}=SB\sin {{30}^{o}}=2a\sqrt{3}.\frac{1}{2}=a\sqrt{3}\); \({{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}AB.BC=\frac{1}{2}.3a.4a=6{{a}^{2}}\)
Suy ra \({{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}.6{{a}^{2}}.a\sqrt{3}=2{{a}^{3}}\sqrt{3}\). Cần tính: \({{S}_{\Delta SAC}}\)?
Do tam giác SBA vuông tại B nên \(SA=\sqrt{{{(2a\sqrt{3})}^{2}}+9{{a}^{2}}}=a\sqrt{21}\)\(AC=\sqrt{9{{a}^{2}}+16{{a}^{2}}}=5a\)
Dùng định lí côsin \(S{{C}^{2}}=S{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}-2SB.BC.c\text{os}{{30}^{o}} \)
\(=12{{a}^{2}}+16{{a}^{2}}-2.2a\sqrt{3}.4a.\frac{\sqrt{3}}{2}=4{{a}^{2}}\Rightarrow SC=2a\)
Dùng công thức Hêrông: \(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\), với \(p=\frac{a+b+c}{2}\)
Ta có: \(p=\frac{7a+a\sqrt{21}}{2}\Rightarrow p-5a=\frac{7a+a\sqrt{21}}{2}-5a=\frac{a\sqrt{21}-3a}{2}\)
\(\Rightarrow p-2a=\frac{7a+a\sqrt{21}}{2}-2a=\frac{a\sqrt{21}+3a}{2}\)
\(\Rightarrow p-a\sqrt{21}=\frac{7a+a\sqrt{21}}{2}-a\sqrt{21}=\frac{7a-a\sqrt{21}}{2}\)
\({{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{4}\sqrt{28{{a}^{2}}.12{{a}^{2}}}=\frac{4}{4}{{a}^{2}}\sqrt{7.3}={{a}^{2}}\sqrt{21}\)
Vậy \(h=\frac{3{{V}_{S.ABC}}}{{{S}_{\Delta SAC}}}=\frac{3.2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{{{a}^{2}}\sqrt{21}}=\frac{6a}{\sqrt{7}}=\frac{6a\sqrt{7}}{7}\).
