Cho hình chóp đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy là \(60^\circ \). Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai* Ta có: \(\frac{{d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right)}} = \frac{{BD}}{{OD}} = 2 \Rightarrow d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right) = 2.d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = 2OH\). Trong đó H là hình chiếu vuông góc của O lên \(\left( {SCD} \right)\).
.png)
* Gọi I là trung điểm của CD ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\SI \bot CD\\OI \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow \left( {\left( {SCD} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {OI,SI} \right) = \widehat {SIO} = 60^\circ \).
Xét tam giác SOI vuông tại O ta có: \(SO = OI.\tan 60^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Xét \(\Delta SOI\), ta có \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{I^2}}} + \frac{1}{{O{S^2}}} = \frac{4}{{{a^2}}} + \frac{4}{{3{a^2}}} = \frac{{16}}{{3{a^2}}}\)
\( \Rightarrow OH = \frac{{a\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
