Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân, AB = BC = 2a, \(\widehat{ABC}={{120}^{0}}\), SA = 3a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
+ \({{S}_{\Delta }}=\frac{1}{2}AB.BC.\sin {{120}^{0}}={{a}^{2}}\sqrt{3}\); \({{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}SA.{{S}_{\Delta ABC}}={{a}^{3}}\sqrt{3}\)
+ Mặt khác, \(SB=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}=a\sqrt{13}\)
\(A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}-2AB.BC.\text{cos}{{120}^{0}}=12{{a}^{2}}\Rightarrow CS=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}=a\sqrt{21}\)
+ Áp dụng công thức hê-rông ta có
\(\begin{align} & {{S}_{\Delta SBC}}=\frac{1}{4}\sqrt{\left( SB+BC+CS \right)\left( -SB+BC+CS \right)\left( SB-BC+CS \right)\left( SB+BC-CS \right)} \\ & =2{{a}^{2}}\sqrt{3} \\ \end{align}\)
(Chú ý: Nhập vào máy tính biểu thức và ấn = ta có kết quả \(\frac{1}{4}\sqrt{\left( \sqrt{13}+2+\sqrt{21} \right)\left( -\sqrt{13}+2+\sqrt{21} \right)\left( \sqrt{13}-2+\sqrt{21} \right)\left( \sqrt{13}+2-\sqrt{21} \right)}=2\sqrt{3}\))
+ Vậy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) là \(d=\frac{3.{{V}_{S.ABC}}}{{{S}_{\Delta SBC}}}=\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2{{a}^{2}}\sqrt{3}}=\frac{3a}{2}.\)
