Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), SA = a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABD, khi đó khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Do \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow \left( {SAB} \right) \bot \left( {SBC} \right)\).
Kẻ \(AH \bot SB\), do tam giác SAB vuông cân nên H là trung điểm SB.
Do \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {SBC} \right)\) và cắt nhau theo giao tuyến SB và \(AH \bot SB \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AH = d\left( {A,\,\left( {SBC} \right)} \right)\).
Trong tam giác vuông SAB, ta có \(\frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{2}{{{a^2}}} \Leftrightarrow AH = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
\(AG \cap \left( {SBC} \right) = \left\{ C \right\} \Rightarrow \frac{{d\left( {A,\,\left( {SBC} \right)} \right)}}{{AC}} = \frac{{d\left( {G,\,\left( {SBC} \right)} \right)}}{{GC}} \Rightarrow d\left( {G,\,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{GC}}{{AC}} \cdot d\left( {A,\,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}\)
