Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh \(a\sqrt{3}\). SA vuông góc với đáy và SC = 3a. Khoảng cách từ điểm A đến mp(SCD) là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi H là hình chiếu của A lên SD.
\(SA\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SA\bot CD\), \(CD\bot AD\Rightarrow CD\bot \left( SAD \right)\Rightarrow \left( SAD \right)\bot \left( SCD \right)\) mà \(\left( SAD \right)\cap \left( SCD \right)=SD\)
Nên \(AH\bot \left( SCD \right)\), do đó \(d\left( A,\left( SCD \right) \right)=AH\).
Hình vuông ABCD cạnh \(a\sqrt{3}\) có đường chéo \(AC=a\sqrt{3}.\sqrt{2}=a\sqrt{6}\)
Tam giác SAC vuông tại A theo định lí Pytago ta tính được \(SA=a\sqrt{3}\)
Tam giác SAD vuông tại A có AH là đường cao nên \(\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{A{{D}^{2}}}\text{ hay }\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{3{{a}^{2}}}+\frac{1}{3{{a}^{2}}}=\frac{2}{3{{a}^{2}}}\Leftrightarrow AH=\frac{a\sqrt{6}}{2}\)
