Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, \(S\text{D}=\frac{a\sqrt{17}}{2}\) hình chiếu vuông góc H của S lên mặt (ABCD) là trung điểm của đoạn \(AB.\) Gọi K là trung điểm của \(AD.\) Tính khoảng cách giữa hai đường SD và HK theo a?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
- Dựng \(HI\bot B\text{D}\) và \(HJ\bot SI\)
- Vì HK // BD \(\Rightarrow \) HK // (SBD)
- Chứng minh được \(B\text{D}\bot \left( SHI \right)\) và \(HJ\bot \left( SB\text{D} \right)\)
Ta có \({{d}_{\left( \text{HK,SD} \right)}}={{d}_{\left( HK,\left( SB\text{D} \right) \right)}}={{d}_{\left( H,\left( SB\text{D} \right) \right)}}=HJ\)
\(SH=\sqrt{S{{\text{D}}^{2}}-D{{H}^{2}}}=\sqrt{\frac{17{{\text{a}}^{2}}}{4}-\frac{5{{\text{a}}^{2}}}{4}}=\sqrt{\frac{12{{\text{a}}^{2}}}{4}}=a\sqrt{3}\)
\(\frac{1}{H{{J}^{2}}}=\frac{1}{S{{H}^{2}}}+\frac{1}{H{{I}^{2}}}=\frac{1}{3{{\text{a}}^{2}}}+\frac{8}{{{a}^{2}}}=\frac{25}{3{{\text{a}}^{2}}}\)
\(\Rightarrow HJ=\frac{a\sqrt{3}}{5}\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, \(\widehat{BAD}={{120}^{0}}\) và \(AC'=a\sqrt{5}\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB’ và BD là:
-
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa BB' và AC bằng:
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ A đến (SBD) bằng \(\frac{6a}{7}\) . Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) bằng:
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Cạnh bên \( SA = \frac{{a\sqrt {15} }}{2}\) và vuông góc với mặt đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ O đến mặt phẳng (SBC).
-
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng \(\sqrt{2}a\). Tam giác SAD cân tại S và mặt bên (SAD) vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng \(\frac{4}{3}{{a}^{3}}\). Khoảng cách h từ B đến mặt phẳng (SCD) là:
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB = 2a, AD = a. Hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AB, SC tạo với đáy một góc \({{45}^{0}}\). Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) là:
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AD = a, AB = 2a. Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SD. Tính khoảng cách d từ S đến mặt phẳng \(\left( {AMN} \right)\).
-
Cho hình chóp SABC, \(SA \bot \left( {ABC} \right), SA = a\sqrt 3 ,\) đáy là tam giác đều cạnh a. Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).
-
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ACD') và (BA'C') bằng
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Góc \(BAC={{60}^{0}}\), hình chiếu của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác ABC, góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD) là \({{60}^{0}}\). Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) theo a.
-
Hình chóp có đáy là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC=4a, (SBC) vuông góc với đáy. Biết SB = 2a\(\sqrt3\), góc SBC = 30o. Tính khoảng cách từ B đến (SAC)
-
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có mặt đáy ABC là tam giác đều cạnh AB = 2a. Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của AB. Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600 . Tính theo a khoảng cách h từ điểm B đến mặt phẳng (ACC'A')
-
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Các cạnh bên của lăng trụ tạo với mặt phẳng đáy góc 60° và hình chiếu vuông góc của đỉnh A lên mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung điểm của cạnh B’C’. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy của lăng trụ
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy (ABCD ) là hình chữ nhật. Tam giác (SAB ) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) . Biết \(SD = 2a\sqrt3\) và góc tạo bởi đường thẳng (SC ) và mặt phẳng (ABCD) bằng 300. Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC)
-
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có ABC là tam giác vuông, \(AB=BC=1,AA'=\sqrt{2}\). M là trung điểm của cạnh BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM; B'C.
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng 2a. Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng ( SCD )
-
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng A. Khoảng cách từ ba điểm nào sau đây đến đường chéo AC' bằng nhau?
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I với \(AB = 2a\sqrt 3 ;BC = 2a\). Biết chân đường cao H hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD trùng với trung điểm đoạn DI và SB hợp với mặt phẳng đáy (ABCD) một góc 60o. Khoảng cách từ D đến (SBC) tính theo a bằng
-
Cho chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a.
Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SAC) bằng:
-
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khi đó, khoảng cách giữa hai mặt phẳng (CB'D') và (BDA') bằng
