Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, \(S\text{D}=\frac{a\sqrt{17}}{2}\) hình chiếu vuông góc H của S lên mặt (ABCD) là trung điểm của đoạn \(AB.\) Gọi K là trung điểm của \(AD.\) Tính khoảng cách giữa hai đường SD và HK theo a?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
- Dựng \(HI\bot B\text{D}\) và \(HJ\bot SI\)
- Vì HK // BD \(\Rightarrow \) HK // (SBD)
- Chứng minh được \(B\text{D}\bot \left( SHI \right)\) và \(HJ\bot \left( SB\text{D} \right)\)
Ta có \({{d}_{\left( \text{HK,SD} \right)}}={{d}_{\left( HK,\left( SB\text{D} \right) \right)}}={{d}_{\left( H,\left( SB\text{D} \right) \right)}}=HJ\)
\(SH=\sqrt{S{{\text{D}}^{2}}-D{{H}^{2}}}=\sqrt{\frac{17{{\text{a}}^{2}}}{4}-\frac{5{{\text{a}}^{2}}}{4}}=\sqrt{\frac{12{{\text{a}}^{2}}}{4}}=a\sqrt{3}\)
\(\frac{1}{H{{J}^{2}}}=\frac{1}{S{{H}^{2}}}+\frac{1}{H{{I}^{2}}}=\frac{1}{3{{\text{a}}^{2}}}+\frac{8}{{{a}^{2}}}=\frac{25}{3{{\text{a}}^{2}}}\)
\(\Rightarrow HJ=\frac{a\sqrt{3}}{5}\)
