Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, ^ABC=300ˆABC=300, tam giác SBC là tam giác đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách h từ điểm C đến mặt phẳng (SAB).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Trong (SBC), dựng SH⊥BCSH⊥BC. Vì ΔSBCΔSBC đều cạnh a nên H là trung điểm của BC và SH=a√32SH=a√32
Ta có: (SBC)⊥(ABC)(SBC)∩(ABC)=BC(SBC)⊃SH⊥BC}⇒SH⊥(ABC)
Vì H là trung điểm của BC nên d(C,(SAB))=2d(H,(SAB))
Trong (ABC), dựng HI⊥AB và trong (SHI), dựng HK⊥SI.
AB⊥HIAB⊥SH}⇒AB⊥(SHI)⇒(SAB)⊥(SHI)
Ta có (SHI)⊥(SAB)(SHI)∩(SAB)=SI(SHI)⊃HK⊥SI}⇒HK⊥(SAB)⇒d(H,(SAB))=HK
Tam giác HBI vuông tại I nên sin^HBI=HIHB⇒HI=HB.sin^HBI=a2.sin300=a4
Tam giác SHI vuông tại H, HK⊥SI nên:
1HK2=1SH2+1HI2⇔HK2=SH2.HI2SH2+HI2=(a√32)2.(a4)2(a√32)2+(a4)2=3a252⇒HK=a√3926
Vậy d(C,(SAB))=2HK=a√3913
