Cho hình chóp (S.ABCD ) có đáy (ABCD ) là hình vuông cạnh bằng (3 ). Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa (SB ) và mặt phẳng đáy bằng 600. Gọi (M ), (N ) là các điểm lần lượt thuộc cạnh đáy (BC ) và (CD ) sao cho (BM = 2MC ) và (CN = 2ND ). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (DM ) và (SN. )
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
- Vì hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy nên SA⊥(ABCD)
\( \Rightarrow \widehat {SBA} = {60^ \circ }\) là góc giữa SB và mặt phẳng đáy
\( \Rightarrow SA = AB.\tan {60^ \circ } = 3\sqrt 3 \)
- Trong mặt phẳng (ABCD) dựng NE//DM cắt BC tại E, cắt AC tại J.
Gọi I là giao điểm của DM và AC.
Ta có:
\(\begin{array}{l} DM\://\:NE \Rightarrow DM\://\:\left( {SNE} \right)\\ \Rightarrow d\left( {DM;SN} \right) = d\left( {DM;\left( {SNE} \right)} \right) = d\left( {I;\left( {SNE} \right)} \right) \end{array}\)
Do: \( NE\://\:DM \Rightarrow \frac{{CJ}}{{CI}} = \frac{{CE}}{{CM}} = \frac{{CN}}{{CD}} = \frac{2}{3}\)
Lại có: \(\begin{array}{l} BC\://\:AD \Rightarrow \frac{{IC}}{{IA}} = \frac{{CM}}{{AD}} = \frac{1}{3} \Rightarrow IC = \frac{1}{3}IA\\ \Rightarrow IJ = \frac{1}{9}IA \Rightarrow IJ = \frac{1}{{10}}AJ \end{array}\)
Mặt khác: \( \frac{{d\left( {I;\left( {SNE} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {SNE} \right)} \right)}} = \frac{{IJ}}{{AJ}} = \frac{1}{{10}} \Rightarrow d\left( {I;\left( {SNE} \right)} \right) = \frac{1}{{10}}d\left( {A;\left( {SNE} \right)} \right)\)
- Xét tam giác DAN và tam giác CDM có:
\(\begin{array}{l} DA = CD,DN = CM\\ \widehat {ADN} = \widehat {DCM} = {90^ \circ }\\ \Rightarrow {\rm{\Delta }}DAN = {\rm{\Delta }}CDM(c - g - c)\\ \Rightarrow \widehat {DAN} = \widehat {CDM}\\ \Rightarrow \widehat {DAN} + \widehat {ADM} = \widehat {CDM} + \widehat {ADM} = {90^ \circ }\\ \Rightarrow AN \bot DM \Rightarrow AN \bot NE \Rightarrow NE \bot \left( {SAN} \right) \Rightarrow \left( {SNE} \right) \bot \left( {SAN} \right) \end{array}\)
(có giao tuyến là SN).
- Dựng AH⊥SN tại \( H \Rightarrow AH \bot \left( {SNE} \right) \Rightarrow AH = d\left( {A;\left( {SNE} \right)} \right)\)
- Ta có:
\(\begin{array}{l} SA = 3\sqrt 3 ,AN = \sqrt {A{D^2} + D{N^2}} = \sqrt {10} \\ \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{N^2}}} = \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{10}} = \frac{{37}}{{270}} \Rightarrow AH = \frac{{3\sqrt {30} }}{{\sqrt {37} }}\\ \Rightarrow d\left( {DM;SN} \right) = \frac{1}{{10}}AH = \frac{{3\sqrt 3 }}{{\sqrt {370} }} \end{array}\)
