Cho hình chóp (S.ABCD ) có đáy (ABCD ) là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a, DC = a . Điểm I là trung điểm đoạn AD, mặt phẳng (SIB) và (SIC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc (60độ ). Tính khoảng cách từ D đến (SBC) theo a
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(\left\{ \begin{array}{l} (SIB) \bot (ABCD)\\ (SIC) \bot (ABCD)\\ (SIB) \bot (SIC) = SI \end{array} \right. \Rightarrow SI \bot (ABCD)\)
.PNG)
Trong mp(ABCD), kẻ IH⊥BC thì
\(BC \bot \left( {SIH} \right) \Rightarrow \left( {\widehat {\left( {SBC} \right),{\mkern 1mu} \left( {ABCD} \right)}} \right) = \widehat {SHI}\)
Mặt khác:
\( {S_{IBC}} = {S_{ABCD}} - {S_{ICD}} - {S_{IAB}}\)
\( KF = \frac{{SI.HF}}{{SH}} = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}\)Lại có \( {S_{IBC}} = \frac{1}{2}IH.BC\)
Tam giác SHI vuông tại I có \( SI = IH.\tan {60^ \circ } = \frac{{3a\sqrt 3 }}{{\sqrt 5 }}\) và \( SH = \frac{{6a}}{{\sqrt 5 }}\)
Gọi E là trung điểm cạnh AB và F là giao điểm của DF và IH
Vì BCDF là hình bình hành nên DF//BC
\( \Rightarrow d\left( {D,{\mkern 1mu} \left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {F,{\mkern 1mu} \left( {SBC} \right)} \right) = KF\)
Hai tam giác DFI và DAE đồng dạng nên
\( IF = \frac{{DI.AE}}{{DE}} = \frac{a}{{\sqrt 5 }} \Rightarrow FH = \frac{{2a}}{{\sqrt 5 }}\)
Hai tam giác HKF và HIS đồng dạng nên
\( KF = \frac{{SI.HF}}{{SH}} = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}\)
\(d\left( {D,{\mkern 1mu} \left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}\)
