Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng 2a. Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng ( SCD )
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.PNG)
Gọi O là tâm của đáy, suy ra SO⊥(ABCD).
Ta có
\(\begin{array}{*{20}{l}} {AO \cap \left( {SCD} \right) = C \Rightarrow \frac{{d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {O;\left( {SCD} \right)} \right)}} = \frac{{AC}}{{OC}} = 2}\\ { \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = 2d\left( {O;\left( {SCD} \right)} \right).} \end{array}\)
Gọi J là trung điểm CD, suy ra OJ⊥CD
Gọi K là hình chiếu của O trên SJ, suy ra OK⊥SJ(1)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l} CD \bot OJ\\ CD \bot SO \end{array} \right. \to CD \bot (SOJ) \to CD \bot OK(2)\)
Từ (1) và (2)
\( \Rightarrow OK \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {O;\left( {SCD} \right)} \right) = OK = \frac{{SO.OJ}}{{\sqrt {S{O^2} + O{J^2}} }}\)
Ta có :
\( SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \sqrt {4{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {14} }}{2} \Rightarrow OK = \frac{{\frac{{a\sqrt {14} }}{2}.\frac{a}{2}}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt {14} }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} }} = \frac{{a\sqrt 7 }}{{\sqrt {30} }}\)
