Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng \(a\sqrt 3 \). Gọi H là trọng tâm tam giác ABC, \({d_1}\) khoảng cách từ A đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right), {d_2}\) khoảng cách từ H đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\). Khi đó \({d_1} + {d_2}\) có giá trị bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Vì H là trọng tâm tam giác ABC nên \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = 3d\left( {H,\left( {SBC} \right)} \right) \Rightarrow {d_2} = \frac{1}{3}{d_1}\).
Kẻ \(AI \bot SM \Rightarrow AI \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow {d_1} = AI = \frac{{2{S_{\Delta SAM}}}}{{SM}}\).
Ta có
\(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{3};SM = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} – {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {11} }}{2};SH = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} – {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {24} }}{3}\).
\({S_{\Delta SAM}} = \frac{1}{2}AM.SH = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{a\sqrt {24} }}{3} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}{a^2} \Rightarrow {d_1} = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{{\frac{{a\sqrt {11} }}{2}}} = \frac{{2\sqrt {22} a}}{{11}}\).
Vậy \({d_1} + {d_2} = \frac{4}{3}{d_1} = \frac{{8\sqrt {22} }}{{33}}a\).
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình chóp S.ABC trong đó SA, AB, BC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết \( SA = 3a, AB = a\sqrt 3 , BC = a\sqrt 6\) . Khoảng cách từ B đến SC bằng
-
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khoảng cách từ đỉnh A của hình lập phương đó đến đường thẳng CD' bằng
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB = 2a, AD = a. Hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AB, SC tạo với đáy một góc \({{45}^{0}}\). Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) là:
-
Cho hình chóp S.ABCD có \(V = {a^3}\sqrt 3 \). Đáy là hình vuông cạnh a, hãy tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng ABCD.
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\); AB = 2a, AD = CD = a. Gọi N là trung điểm SA. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SC và DN, biết rằng thể tích khối chóp S.ABCD bằng \(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}\).
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, \(S\text{D}=\frac{a\sqrt{17}}{2}\) hình chiếu vuông góc H của S lên mặt (ABCD) là trung điểm của đoạn \(AB.\) Gọi K là trung điểm của \(AD.\) Tính khoảng cách giữa hai đường SD và HK theo a?
-
Cho hình chóp O.ABC có đường cao \(OH = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OA và OB. Khoảng cách giữa đường thẳng MN và (ABC) bằng
-
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa AB và CD.
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm của CD. Khoảng cách từ M đến SA nhận giá trị nào trong các giá trị sau?
-
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy có tất cả các cạnh bằng a và có tâm là O gọi M là trung điểm của OA. Tính khoảng cách d từ điểm M đến mặt phẳng (SCD).
-
Hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Gọi H là trung điểm của BC, khoảng cách từ S đến AH bằng:
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC); góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (SMC)
-
Cho chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a.
Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SAC) bằng:
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\), cạnh \(a\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy, góc \(\widehat{SBD}={{60}^{0}}\). Tính theo \(a\) khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(SO\).
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân có hai đường chéo AC, BD vuông góc với nhau, \(AD = 2a\sqrt 2 ;BC = a\sqrt 2 \). Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt đáy (ABCD). Góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 60o. Khoảng cách từ M là trung điểm đoạn AB đến mặt phẳng (SCD) là
-
Cho tứ diện OABC trong đó OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, OA = OB = OC = a. Gọi I là trung điểm BC. Khoảng cách giữa AI và OC bằng bao nhiêu?
-
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ACD') và (BA'C') bằng
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, \(AB=1,AC=\sqrt{3}\). Tam giác SBC đều và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC).
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng 2a. Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng ( SCD )
-
Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, \(\widehat{BAD}={{120}^{0}}\) và \(AC'=a\sqrt{5}\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB’ và BD là:
