Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a; DC = a. Điểm I là trung điểm đoạn AD, hai mặt phẳng \(\left( {SIB} \right)\) và \(\left( {SIC} \right)\) cùng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) tạo với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) một góc \(60^\circ \). Tính khoảng cách từ D đến \(\left( {SBC} \right)\) theo a.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Theo đề ta có \(SI \bot \left( {ABCD} \right).\)
Gọi K là hình chiếu vuông góc của I trên BC.
Suy ra: Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {\widehat {\left( {SBC} \right),\left( {ABCD} \right)}} \right) = \widehat {SKI} = 60^\circ \)
Gọi E là trung điểm của AB, \(M = IK \cap DE.\)
Do BCDE là hình bình hành nên \(DE\,{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\)
\( \Rightarrow d\left( {D,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {DE,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {M,\left( {SBC} \right)} \right)\)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên SK. Suy ra \(d\left( {M,\left( {SCD} \right)} \right) = MH\)
Dễ thấy: \(IM = \frac{1}{2}AU = \frac{1}{2}KN = \frac{1}{2}MK\)
\(IN = IM + MK + KN = \frac{1}{2}MK + MK + MK = \frac{5}{2}MK\)
Suy ra: \(MK = \frac{2}{5}IN = \frac{2}{5}\sqrt {I{D^2} + D{N^2}} = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).
Trong tam giác MHK, ta có: \(MH = MK.\sin 60^\circ = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}\)
