Cho tứ diện O.ABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau \(OA = OB = OC = \sqrt 3 .\) Khoảng cách từ O đến \(mp(ABC)\) là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi A’ là chân đường cao kẻ từ A lên BC, C’ là chân đường cao kẻ từ C lên AB.
Gọi H là giao của AA’ với CC’ suy ra H là trực tâm của tam giác ABC. Ta dễ dàng chứng minh được \(OH \bot (ABC).\)
Do đó: \(d(O,(ABC)) = OH.\) Tính OH.
Ta có: Tam giác OAA’ vuông tại O, có OH là đường cao. Suy ra : \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{OA{‘^2}}}\) (1)
Lại có: Tam giác OBC vuông tại B, có OA’ là đường cao. Suy ra: \(\frac{1}{{OA{‘^2}}} = \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}.\) Thay \(OA = OB = OC = \sqrt 3 \) vào, ta được:
\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 1\,\, \Leftrightarrow \,OH = 1.\)
Vậy d(O,(ABC)) = OH = 1.