Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều ABCD nội tiếp trong đường tròn đường kính AD = 2a và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) với \( SA = a\sqrt 6 \) Tính khoảng cách từ A và B đến mặt phẳng (SCD).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Vì ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AD = 2a nên ta có: AD∥BC và AB=BC=CD=a, đồng thời \( AC \bot C{\rm{D}},AB \bot B{\rm{D}},AC = B{\rm{D}} = a\sqrt 3 \)
Như vậy \(\left\{ \begin{array}{l} CD \bot AC\\ CD \bot SA \end{array} \right. \to CD \bot (SAC)\)
Trong mặt phẳng (SAC) dựng AH ⊥ SC tại H ta có AH ⊥ CD và AH ⊥ SC nên AH ⊥ (SCD)
Vậy AH = d(A,(SCD))
Xét tam giác SAC vuông tại A có AH là đường cao, ta có:
\(\begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {}&{\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}}\\ {}&{ = \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 6 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}} = \frac{1}{{2{{\rm{a}}^2}}}} \end{array}\\ \to A{H^2} = 2{{\rm{a}}^2} \Rightarrow AH = a\sqrt 2 \end{array}\)
Gọi I là trung điểm của AD ta có BI∥CD nên BI song song với mặt phẳng (SCD). Từ đó suy ra d(B,(SCD))=d(I,(SCD))
Mặt khác AI cắt (SCD) tại D nên
\( d\left( {I,\left( {SC{\rm{D}}} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A,\left( {SC{\rm{D}}} \right)} \right) = \frac{1}{2}.a\sqrt 2 = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
