Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a, \(\widehat {ABC} = 60^\circ \), mặt bên SAB là tam giác đều. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) trùng với trung điểm của AO. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD.

A. \(\frac{{a\sqrt {560} }}{{112}}\)

B. \(\frac{{a\sqrt {560} }}{{10}}\)

C. \(\frac{{a\sqrt {560} }}{5}\)

D. \(\frac{{a\sqrt {560} }}{{28}}\)

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Môn: Toán Lớp 11

Chủ đề: Quan hệ vuông góc trong không gian

Bài: Khoảng cách

Lời giải:

Báo sai

Gọi H là trung điểm của AO. Theo giả thiết: \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Ta có: \(CD{\rm{//}}AB \Rightarrow CD{\rm{//}}\left( {SAB} \right)\Rightarrow d\left( {SA,CD} \right) = d\left( {CD,\left( {SAB} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right)\).

Mặt khác: \(\frac{{d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right)}}{{d\left( {H,\left( {SAB} \right)} \right)}} = \frac{{CA}}{{HA}} = 4 \Rightarrow d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = 4d\left( {H,\left( {SAB} \right)} \right)\).

Trong \(\left( {ABCD} \right)\), kẻ \(HI \bot AB\) tại I; kẻ \(HK \bot SI\) tại K.

Khi đó: \(d\left( {H,\left( {SAB} \right)} \right) = HK\).

Tam giác SHI vuông tại H nên: \(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{H{S^2}}} + \frac{1}{{H{I^2}}}\left( 1 \right)\)

Hình thoi có \(\widehat {ABC} = 60^\circ \) nên tam giác ABC đều \( \Rightarrow AC = a;\,BO = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Tam giác AIH đồng dạng tam giác AOB \( \Rightarrow \frac{{IH}}{{OB}} = \frac{{AH}}{{AB}} \Rightarrow IH = \frac{{OB.AH}}{{AB}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{a}{4}}}{a} = \frac{{a\sqrt 3 }}{8} \left( 2 \right)\)

Tam giác SAB đều nên SA = SB = AB = a.

Tam giác SAH vuông tại H nên \(SH = \sqrt {S{A^2} – A{H^2}} = \sqrt {{a^2} – {{\left( {\frac{a}{4}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {15} }}{4}\left( 3 \right)\)

Thay \(\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\) vào \(\left( 1 \right)\) ta được: \(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{8}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt {15} }}{4}} \right)}^2}}} = \frac{{112}}{{5{a^2}}} \Rightarrow HK = \frac{{a\sqrt {560} }}{{112}}\).

Vậy \(d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = 4d\left( {H,\left( {SAB} \right)} \right) = 4.\frac{{a\sqrt {560} }}{{112}} = \frac{{a\sqrt {560} }}{{28}}\).