Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA⊥(ABC), góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng 75∘. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB gần bằng giá trị nào sau đây? (lấy 3 chữ số phần thập phân)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Vì SA⊥(ABC) nên ^(SB,(ABC))=^(SB,AB)=^SBA⇒^SBA=75∘.
SA=AB.tan^SBA=a.tan75∘=a(2+√3).
Dựng hình bình hành ACBD, ta có AC//(SBD) nên:
d(AC,SB)=d(AC,(SBD))=d(A,(SBD)).
Gọi M là trung điểm BD, suy ra BD⊥AM.
Từ SA⊥(ABC) ta có BD⊥SA, do đó BD⊥(SAM).
Kẻ AH⊥SM (H∈SM) thì BD⊥AH.
Từ BD⊥AH và AH⊥SM suy ra AH⊥(SBD).
Nên d(A,(SBD))=AH.
Tam giác ABD đều cạnh a nên AM=a√32.
Trong tam giác SAM vuông tại A, ta có
1AH2=1AM2+1SA2=1(a√32)2+1(a(2+√3))2=25–12√33a2⇒AH=√325–12√3a≈0.844a.
Vậy d(AC,SB)=d(A,(SBD))=AH≈0.844a.
