Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh \(a\) . Hình chiếu vuông góc của điểm A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết thể tích của khối lăng trụ là \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi M là trung điểm của BC , dựng \(MN\bot AA'\) tại N (1)
Gọi O là trọng tâm của \(\Delta ABC\Rightarrow \)O là hình chiếu của A’ lên (ABC) \(\Rightarrow A'O\bot BC\)
Mặt khác \(AM\bot BC\) vì \(\Delta ABC\) đều
\(\Rightarrow BC\bot \left( A'MA \right)\Rightarrow BC\bot MN\left( 2 \right)\). Từ (1) và (2)
=> MN là đường vuông chung
Kẻ OP // MN \(\Rightarrow \frac{OP}{MN}=\frac{AO}{AM}=\frac{2}{3}\)\({{S}_{\Delta ABC}}=\frac{\sqrt{3}{{a}^{2}}}{4}\Rightarrow OA'=\frac{{{V}_{ABCA'B'C'}}}{{{S}_{\Delta ABC}}}=a\)
Xét \(\Delta A'OA\) vuông tai O, đường cao OP: \(\frac{1}{O{{P}^{2}}}=\frac{1}{O{{A}^{2}}}+\frac{1}{OA{{'}^{2}}}\Rightarrow OP=\frac{a}{2}\Rightarrow MN=\frac{3a}{4}\)
