Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AC = a, I là trung điểm SC. Hình chiếu vuông góc của S lên \(\left( {ABC} \right)\) là trung điểm H của BC. Mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) tạo với \(\left( {ABC} \right)\) một góc \(60^\circ \). Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi M là trung điểm cạnh AB thì MH là đường trung bình của tam giác ABC nên \(MH = \frac{a}{2},MH{\rm{//AC}} \Rightarrow MH \bot AB\).
Mặt khác, do \(SH \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(\left( {SMH} \right) \bot BC\). Suy ra góc giữa \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là góc giữa SM và MH; lại có \(SH \bot MH\) nên góc này bằng góc \(\widehat {SMH}\). Từ giả thiết suy ra \(\widehat {SMH} = 60^\circ \).
Gọi K là hình chiếu của H lên SM thì \(HK \bot \left( {SAB} \right)\).
Xét tam giác vuông \(SMH,SH = MH.\tan 60^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},MH = \frac{a}{2} \Rightarrow HK = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).
Gọi khoảng cách từ I,C,H đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) lần lượt là \({\rm{d}}\left( {I,\left( {SAB} \right)} \right),{\rm{d}}\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right),{\rm{d}}\left( {H,\left( {SAB} \right)} \right)\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}\left( {I,\left( {SAB} \right)} \right){\rm{ = }}\frac{1}{2}{\rm{d}}\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right)\\{\rm{d}}\left( {H,\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{1}{2}{\rm{d}}\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow {\rm{d}}\left( {I,\left( {SAB} \right)} \right) = {\rm{d}}\left( {H,\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)
