Cho hàm số \(y = \left\{ \begin{array}{l}x\,neu\,x < 0\\{x^2}\,neu\,x \ge 0\end{array} \right.\)
Hãy tính:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\) tại x = 0;
b) \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ - }} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\) tại x = 0.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saia) Với \(x > 0\) thì \(y = {x^2}\)
Tại \(x = 0\) ta có:
\(\begin{array}{l}\Delta y = {\left( {0 + \Delta x} \right)^2} - {0^2} = {\left( {\Delta x} \right)^2}\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \dfrac{{{{\left( {\Delta x} \right)}^2}}}{{\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \left( {\Delta x} \right) = 0\end{array}\)
b) Với \(x < 0\) thì \(y = x\)
Tại \(x = 0\) ta có:
\(\begin{array}{l}\Delta y = 0 + \Delta x - 0 = \Delta x\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ - }} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ - }} \dfrac{{\Delta x}}{{\Delta x}} = 1\end{array}\)
