\(\begin{equation} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(x^{2}+2012\right) \sqrt[7]{1-2 x}-2012}{x}=\frac{a}{b}, \text { với } \frac{a}{b} \end{equation}\) là phân số tối giản, a là số nguyên âm. Tổng a+b bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\left(x^{2}+2012\right) \sqrt[7]{1-2 x}-2012}{x}=\lim\limits _{x \rightarrow 0}(x \sqrt[7]{1-2 x})+2012 \cdot \lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{(\sqrt[7]{1-2 x}-1)}{x}=2012 \cdot \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[7]{1-2 x}-1}{x}\)
\(\begin{equation} \begin{aligned} &\text { Xét hàm số } y=f(x)=\sqrt[7]{1-2 x} \text { ta có } f(0)=1 \text { . Theo định nghĩa đạo hàm ta có: }\\ &f^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[7]{1-2 x}-1}{x}\\ &f^{\prime}(x)=-\frac{2}{7(\sqrt[7]{1-2 x})^{6}} \Rightarrow f^{\prime}(0)=-\frac{2}{7} \Rightarrow \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[7]{1-2 x}-1}{x}=-\frac{2}{7}\\ &\Rightarrow \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(x^{2}+2012\right) \sqrt[7]{1-2 x}-2012}{x}=-\frac{4024}{7} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} a=-4024 \\ b=7 \end{array} \Rightarrow a+b=-4017\right. \end{aligned} \end{equation}\)
