Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l} f\left( 0 \right) = f'\left( 0 \right) = 1\\ f\left( {x + y} \right) = f\left( x \right) + f\left( y \right) + 3xy\left( {x + y} \right) - 1 \end{array} \right.\), với \(x,y\in \mathbb{R}\). Tính \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x-1 \right)}\text{d}x\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiLấy đạo hàm theo hàm số \(y\)
\({f}'\left( x+y \right)={f}'\left( y \right)+3{{x}^{2}}+6xy\), \(\forall x\in \mathbb{R}\).
Cho \(y=0\Rightarrow {f}'\left( x \right)={f}'\left( 0 \right)+3{{x}^{2}}\)\(\Rightarrow \)\({f}'\left( x \right)=1+3{{x}^{2}}\)
\(\Rightarrow \)\(f\left( x \right)=\int{{f}'\left( x \right)}dx={{x}^{3}}+x+C\) mà \(f\left( 0 \right)=1\)\(\Rightarrow C=1\). Do đó \(f\left( x \right)={{x}^{3}}+x+1\).
Vậy \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x-1 \right)}\text{d}x=\)\(\int\limits_{-1}^{0}{f\left( x \right)}\,\text{d}x=\)\(\int\limits_{-1}^{0}{\left( {{x}^{3}}+x+1 \right)\,}\text{d}x=\frac{1}{4}\).