Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} + x + 1}&{{\rm{ khi }}x \ge 0}\\ {2x - 3}&{{\rm{ khi }}x < 0} \end{array}} \right.$. Biết $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f(2\sin x-1)\cos x~dx}+\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{\frac{f\left( \ln x \right)}{x}dx}=\frac{a}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Giá trị của tích $a+b$ bằng

Nếu $\int_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2,\,\,\int_{ – 3}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 1$ thì $\int_{ – 3}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x}$ bằng

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-ln 2;ln2] và thõa mãn $f(x)+f(-x)=\frac{1}{e^{x}+1}$Biết $\int\limits_{-\ln 2}^{\ln 2} f(x) \mathrm{d} x=a \ln 2+b \ln 3, \text { vói } a, b \in \mathbb{Q}$ . Tính giá trị của P=a+b.

Giá trị của tích phân $I=\int_{0}^{1} \frac{\ln (1+x)}{1+x^{2}} d x$ là

Cho hàm số f(x)20 có đạo hàm liên tục trên đoạn [-1;3] và thỏa mãn $f(-1)=4 ; f(3)=7$ Giá trị của  $I=\int_{-1}^{3} 5 f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ là:

Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x\left( {1 + {x^2}} \right)}&{{\rm{ }}khi{\rm{ }}x \ge 3}\\ {\frac{1}{{x - 4}}}&{{\rm{ }}khi{\rm{ }}x < 3} \end{array}} \right.$. Tích phân $\int\limits_{{{\text{e}}^{2}}}^{{{\text{e}}^{4}}}{\frac{f(\ln x)~}{x}\text{d}x}$ bằng:

 Cho hàm số f x ( ) có đạo hàm liên tục trên $(0 ;+\infty)$, biết $f^{\prime}(x)+(2 x+4) f^{2}(x)=0 \text { và } f(x)>0, \forall x \in \mathbb{R} ; f(2)=\frac{1}{15}$. Tính $f(1)+f(2)+f(3)$
 

Biết rằng $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaa8qCaeaaca % WG4bGaci4yaiaac+gacaGGZbGaaGOmaiaadIhacaWGKbGaamiEaiab % g2da9maalaaabaGaaGymaaqaaiaaisdaaaWaaeWaaeaacaWGHbGaci % 4CaiaacMgacaGGUbGaaGOmaiabgUcaRiaadkgaciGGJbGaai4Baiaa % cohacaaIYaGaey4kaSIaam4yaaGaayjkaiaawMcaaaWcbaGaaGimaa % qaaiaaigdaa0Gaey4kIipaaaa!50F5! \int\limits_0^1 {x\cos 2xdx = \frac{1}{4}\left( {a\sin 2 + b\cos 2 + c} \right)}$ với $a,b,c \in Z$ . Khẳng định nào sau đây đúng 

Cho $\mathop \smallint \nolimits_1^2 f\left( x \right)dx\; = \; - 3$. Tính $\mathop \smallint \nolimits_2^4 f\left( {\frac{x}{2}} \right)dx$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = {x^3} + 11x - 6,\;y = 6{x^2}$, x = 0, x = 2. (Đơn vị diện tích)

Có bao nhiêu số thực b thuộc khoảng $(\pi ; 3 \pi)$ sao cho $\int_{\pi}^{b} 4 \cos 2 x d x=1 ?$

Biết $I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 \frac{x}{{4 - {x^2}}}dx =  - \frac{1}{2}\ln \frac{a}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và a,b>0a,b>0 thì a2−ba2-b bằng  

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và các tích phân $\mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{4}} f\left( {\tan \;x} \right)dx$ và$\mathop \smallint \nolimits_0^1 \frac{{{x^2}f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}dx$, tính tích phân $\mathop \smallint \nolimits_0^1 f\left( x \right)dx$

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên [0;2], thỏa các điều kiện $f(2)=1 \text { và } \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{2}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} \mathrm{~d} x=\frac{2}{3} . \text { Giá trị của } \int_{1}^{2} \frac{f(x)}{x^{2}} \mathrm{~d} x:$

Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi các đường $x y=4, x=0, y=1 \text { và } y=4$. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H ) quanh trục tung.

Hàm số f(x) liên tục trên [-1;2] và thỏa mãn điều kiện $f(x)=\sqrt{x+2}+x f\left(3-x^{2}\right)$ . Tính giá trị của tích phân $I=\int_{-1}^{2} f(x) \mathrm{d} x$?

Tích phân $I=\int_{0}^{1} x \sqrt{x^{2}+1} d x$  có giá trị là

Nếu $\mathop \smallint \nolimits_1^2 f\left( x \right)dx = 2$ thì $I = \mathop \smallint \nolimits_1^2 \left[ {3f\left( x \right) - 2} \right]dx$ bằng bao nhiêu?

Giá trị của tích phân $I=\int_{e}^{e^{2}} \frac{d x}{x \ln x}$ là

Cho hàm số f(x) liên tục và nhận giá trị dương trên [ 0;1] . Biết $f(x) \cdot f(1-x)=1$ với $\forall x \in[0 ; 1]$ . Tính giá trị của $I=\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d} x}{1+f(x)}$

Nếu $\int_{-2}^{0}\left(4-e^{-x / 2}\right) d x=K-2 e$ thì giá trị của K là