Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=\sqrt{x} \mathrm{e}^{x}\), trục hoành và đường thẳng x=1 là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiXét phương trình hoành độ giao điểm của \(y=\sqrt{x} \mathrm{e}^{x} \text { và trục hoành: } \sqrt{x} \mathrm{e}^{x}=0 \Leftrightarrow x=0\)
\(\sqrt{x} \mathrm{e}^{x}=0 \Leftrightarrow x=0\)
Khi đó: \(V=\pi \int\limits_{0}^{1} x \mathrm{e}^{2 x} \mathrm{d} x\)
Đặt \(\left\{\begin{array}{l} u=x \\ \mathrm{d} v=\mathrm{e}^{2 x} \mathrm{d} x \end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} \mathrm{d} u=\mathrm{d} x \\ v=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{2 x} \end{array}\right.\right.\)
Khi đó:
\(V=\pi\left[\left.\frac{1}{2} x \mathrm{e}^{2 x}\right|_{0} ^{1}-\frac{1}{2} \int\limits_{0}^{1} \mathrm{e}^{2 x} \mathrm{d} x\right]=\pi\left[\frac{1}{2} \mathrm{e}^{2}-\left.\frac{1}{4} \mathrm{e}^{2 x}\right|_{0} ^{1}\right]=\pi\left[\frac{1}{2} \mathrm{e}^{2}-\frac{1}{4} \mathrm{e}^{2}+\frac{1}{4}\right]=\frac{\pi}{4}\left(\mathrm{e}^{2}+1\right)\)
